[論文レビュー] Lower Bounds for a Polynomial on a basic closed semialgebraic set using geometric programming

Mehdi Ghasemi, Murray Marshall|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多項式不等式で定義される基本的閉半代数的集合上での多項式の下界を計算するための幾何プログラミングに基づくアルゴリズムを提示する。これは、非制約の場合や超楕円体領域に対する従来の手法を一般化し、特に次数が高くスパースな多項式において、半正定値プログラミングが失敗する場合でも高速に計算可能である。

ABSTRACT

$f,g_1,...,g_m$ be elements of the polynomial ring $\mathbb{R}[x_1,...,x_n]$. The paper deals with the general problem of computing a lower bound for $f$ on the subset of $\mathbb{R}^n$ defined by the inequalities $g_i\ge 0$, $i=1,...,m$. The paper shows that there is an algorithm for computing such a lower bound, based on geometric programming, which applies in a large number of cases. The algorithm extends and generalizes earlier algorithms of Ghasemi and Marshall, dealing with the case $m=0$, and of Ghasemi, Lasserre and Marshall, dealing with the case $m=1$ and $g_1= M-(x_1^d+\cdots+x_n^d)$. Here, $d$ is required to be an even integer $d \ge \max\{2,°(f)\}$. The algorithm is implemented in a SAGE program developed by the first author. The bound obtained is typically not as good as the bound obtained using semidefinite programming, but it has the advantage that it is computable rapidly, even in cases where the bound obtained by semidefinite programming is not computable.

研究の動機と目的

• 多項式不等式によって定義される基本的閉半代数的集合上での多項式の計算的に効率的な下界を計算するという課題に対処すること。
• 従来、非制約多項式や1つの超楕円体制約に限定されていた幾何プログラミング手法を、一般の半代数的集合へと拡張すること。
• 特に次数が高くスパースな多項式において、半正定値プログラミングよりも計算が高速となるアルゴリズムを開発すること。
• 最適な下界の緩和を提供し、多くの場合に幾何プログラミングによって計算可能であるようにすること。

提案手法

• 多項式 $ f $ を $ K_{\boldsymbol{g}} = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : g_j(\mathbf{x}) \geq 0, \, j=1,\dots,m \} $ で最小化する問題に定式化する。ここで $ \boldsymbol{g} = (g_1, \dots, g_m) $ である。
• パラメータ化された摂動 $ G(\lambda) = f - \sum_{j=1}^m \lambda_j g_j $ を導入し、$ \lambda_j \geq 0 $ とすることで、$ K_{\boldsymbol{g}} $ 上で $ G(\lambda) \leq f $ が保証される。
• 幾何プログラミングを用いて、$ G(\lambda) $ の $ \mathbb{R}^n $ 上での下界 $ G(\lambda)_{\text{gp}} $ を計算し、これにより $ f $ の $ K_{\boldsymbol{g}} $ 上での下界が得られる。
• 候補となる下界を $ s(f, \boldsymbol{g}) = \sup_{\lambda \in [0,\infty)^m} G(\lambda)_{\text{gp}} $ と定義し、有利な場合に幾何プログラミングによって計算可能である。
• 最適化の部分問題をポリノミアル関数と単項式関数でモデル化し、双対性および相加・相乗平均の不等式を活用する。
• 幾何プログラミングによって上記の上限 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ が計算可能となる十分条件（例：定理 4.2）を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何プログラミングは、非制約や1つの超楕円体のケースを越えて、一般の基本的閉半代数的集合上での多項式の下界計算に拡張可能か？
• RQ2 双対変数 $ \lambda $ に対する幾何プログラミングの下界の上限が、どのような条件下で幾何プログラミングによって計算可能か？
• RQ3 次数が高くスパースな多項式に対して、本手法は半正定値プログラミングに基づく手法と比較して、計算速度と精度の面でどのように差をつけるか？
• RQ4 積としての超楕円体や超立方体などの構造的集合に対し、本手法を体系的かつ一貫して適用可能か？
• RQ5 幾何プログラミングによる下界と、[3]で提示された超立方体上での自明な下界との関係は何か？

主な発見

• 提案手法は、幾何プログラミングを用いて $ f $ の $ K_{\boldsymbol{g}} $ 上での下界 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ を計算し、$ m=0 $ や $ m=1 $ で $ g_1 = M - \sum x_i^d $ の場合の先行研究を一般化する。
• 下界 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ は、多項式の構造が特定の斉次性や対称性の条件を満たす場合に、多数のケースで幾何プログラミングによって計算可能である。
• 超立方体 $ \prod_{j=1}^n [-N_j, N_j] $ に対して、本手法は[3]の自明な下界を回復・精緻化し、すべての高次係数が非正である場合には等号が成立する。
• アルゴリズムは特に次数が高くスパースな多項式において、半正定値プログラミングよりも著しく高速であり、SDPが失敗する場合でも実行可能である。
• 理論的結果（例：定理 4.2）により、最適な下界 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ が幾何プログラミングによって計算可能となる十分条件が特定されており、超楕円体の積を含むケースも含まれる。
• SAGEの実装は github.com/mghasemi/CvxAlgGeo で公開されており、本手法の実用的応用およびベンチマークが可能である。