[論文レビュー] Lower Bounds for diophantine Approximation

M Giusti, Joos Heintz+4 more|ArXiv.org|Aug 13, 1996

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、直線プログラムと記号的ニュートン反復を用いて、多変数多項式系を解くための部分指数時間アルゴリズムを提示し、0次元系に対するディオファントス近似の対数的高さの内在的下界を導出する。これはリウヴィルの定理を複数変数に一般化し、代数幾何学における代数的近似理論の計算複雑性的基盤を確立する。

ABSTRACT

We introduce a subexponential algorithm for geometric solving of multivariate polynomial equation systems whose bit complexity depends mainly on intrinsic geometric invariants of the solution set. From this algorithm, we derive a new procedure for the decision of consistency of polynomial equation systems whose bit complexity is subexponential, too. As a byproduct, we analyze the division of a polynomial modulo a reduced complete intersection ideal and from this, we obtain an intrinsic lower bound for the logarithmic height of diophantine approximations to a given solution of a zero--dimensional polynomial equation system. This result represents a multivariate version of Liouville's classical theorem on approximation of algebraic numbers by rationals. A special feature of our procedures is their {\em polynomial} character with respect to the mentioned geometric invariants when instead of bit operations only arithmetic operations are counted at unit cost. Technically our paper relies on the use of straight--line programs as a data structure for the encoding of polynomials, on a new symbolic application of Newton's algorithm to the Implicit Function Theorem and on a special, basis independent trace formula for affine Gorenstein algebras.

研究の動機と目的

• 内在的幾何的不変量に依存するビット複雑度を持つ、0次元多項式系を解く部分指数時間アルゴリズムの開発。
• 多項方程式系の整合性を決定する手続きを、部分指数的ビット複雑度で実現すること。
• 0次元系の解に対するディオファントス近似の対数的高さの内在的下界を導出すること。
• 代数的数の有理数近似に関するリウヴィルの古典的定理を、多変数設定に一般化すること。
• 直線プログラムをデータ構造として用いることで、算術演算における多項式時間の挙動を示すこと。

提案手法

• 多項式のエンコーディングを簡略化し、計算複雑度を低減するため、直線プログラムを多項式のコンactデータ構造として採用する。
• 陰関数定理に適用する記号的ニュートン法の変種を用いて、多項式系の局所的解法を効率化する。
• 単項式基底に依存しない、アフィンゴレンシュタイン代数の基底独立トレース公式を用いて、解集合を解析する。
• 減少完全交差イデアルに関する多項式除法を分析し、ディオファントス近似の高さに関する境界を導出する。
• 次数やベッチ数などの幾何的不変量とアルゴリズム的複雑度を組み合わせ、近似品質の境界を導く。
• 0次元イデアルの構造を用いて、ディオファントス近似に関連する解の複雑さの内在的測度を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0次元多項式系の解に対する有理数近似の最小対数的高さは何か？
• RQ2 内在的幾何的不変量を用いて、多変数多項式系を解く際のビット複雑度をどのように境界づけられるか？
• RQ3 解の幾何構造に依存する複雑度を持つ、多項式系の整合性を判定する部分指数時間アルゴリズムを構築可能か？
• RQ4 多変数設定におけるディオファントス近似の下界は、古典的単変数の場合とどのように異なるか？
• RQ5 代数的計算において、算術複雑度とビット複雑度をどの程度分離できるか？

主な発見

• 本稿では、0次元多項式系の解に対するディオファントス近似の対数的高さの新たな内在的下界を確立し、リウヴィルの定理を複数変数に一般化した。
• 次数やベッチ数などの幾何的不変量に依存するビット複雑度を持つ、多変数多項式系を解く部分指数時間アルゴリズムが開発された。
• 多項式系の整合性を判定する手続きも、同じアルゴリズム的枠組みに依拠し、部分指数的ビット複雑度を達成した。
• 直線プログラムの使用により、算術演算における多項式時間の挙動が実現され、算術複雑度とビット複雑度の分離が顕著になった。
• アフィンゴレンシュタイン代数の基底独立トレース公式は、単項式基底計算に依存しない高さ境界の導出において中心的な役割を果たした。
• 結果として、ディオファントス近似の質は、解集合の幾何的複雑さによって本質的に制約されることを示した。