[論文レビュー] Lower Bounds for Maximum Weighted Cut

Gregory Gutin, Anders Yeo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、確率的技法、Vizingの定理、および構造的グラフ性質を用いて、重み付きグラフにおける最大重みカット（MWC）問題の新たな下界を確立する。一般化された下界を導入し、閉路長が有界なグラフや最大次数 ≤3 の三角形なしグラフに対してより強い結果を得ている。特に、部分立方体の三角形なしグラフに対しては、mac(G) ≥ 8/11 · w(G) という重要な下界を示し、三角形なしグラフに対しては、スパニングツリー T を用いた mac(G) ≥ w(G)/2 + 3w(T)/8 という予想される下界を提示している。

ABSTRACT

Let G be a graph on n vertices. For i ∈ {0,1} and a connected graph G, a spanning forest F of G is called an i-perfect forest if every tree in F is an induced subgraph of G and exactly i vertices of F have even degree (including zero). An i-perfect forest of G is proper if it has no vertices of degree zero. Scott (2001) showed that every connected graph with even number of vertices contains a (proper) 0-perfect forest. We prove that one can find a 0-perfect forest with minimum number of edges in polynomial time, but it is NP-hard to obtain a 0-perfect forest with maximum number of edges. We also prove that for a prescribed edge e of G, it is NP-hard to obtain a 0-perfect forest containing e, but we can find a 0-perfect forest not containing e in polynomial time. It is easy to see that every graph with odd number of vertices has a 1-perfect forest. It is not the case for proper 1-perfect forests. We give a characterization of when a connected graph has a proper 1-perfect forest.

研究の動機と目的

• 一般の重み付きグラフにおける最大重みカット（MWC）問題の新たな計算可能な下界を開発すること。
• 特に閉路長が有界または三角形なしといった構造的制約を満たすグラフに対して、既存の非自明なMWCの下界を改善すること。
• Poljak-Turzákの下界を最小スパニングツリーからDFSツリーに置き換えることで拡張し、そのような改善の計算複雑性を調査すること。
• 特に部分立方体の三角形なしグラフを含む、最大次数が有界な三角形なしグラフの構造的性質を調査し、よりタイトなMWCの下界を導出すること。

提案手法

• 任意のB部分グラフ R に対して mac(G) ≥ (w(G) + w(R))/2 である一般化された下界を導入し、Poljak-Turzákの下界を一般化する。
• 頂点分割のランダム2色割り当ての分析に確率的技法を用い、期待されるカット重みを導出する。
• Vizingの彩色指数定理を用いて辺彩色を行い、部分グラフ内のマッチングおよびサイクル構造を活用する。
• DFSツリー、最大重みスパニングツリー、最大重みマッチングに基づいて不等式を構築し、新たな不等式を導出する。
• DFSツリーを最大重みDFSツリーに置き換えると、下界の計算がNP困難になることを証明する。これは三角形なしグラフに対しても同様に成り立つ。
• 異なる構造的ケース（A0, A1, A2）からの複数の不等式を凸結合により組み合わせ、タイトな総合的下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小スパニングツリーをDFSツリーに置き換えることで、Poljak-Turzákの下界 mac(G) ≥ w(G)/2 + w(Tmin)/4 を改善できるか？
• RQ2 閉路長が有界または三角形なしのグラフに対して、既存の下界を上回る多項式時間で計算可能なMWCの下界を達成できるか？
• RQ3 最大次数 ∆ ≤ 3 の三角形なしグラフに対して、mac(G) ≥ a∆ · w(G) の形の最良の下界は何か？
• RQ4 すべての三角形なし部分立方体グラフは、各5サイクルがちょうど1本の辺を含むような辺集合 E′ を持つのか？ また、これはMWCの下界とどのように関係するか？
• RQ5 任意の三角形なしグラフ G と任意のスパニングツリー T に対して、mac(G) ≥ w(G)/2 + 3w(T)/8 を証明できるか？

主な発見

• 本稿は、最小重みを要件としないDFSツリー D に対して、mac(G) ≥ w(G)/2 + w(D)/4 であることを証明しており、これはPoljak-Turzákの下界よりも強い。
• 最大次数 ∆(G) ≤ 3 の三角形なしグラフに対して、タイトな下界 mac(G) ≥ 8/11 · w(G) を確立している。これは従来の下界を改善している。
• 任意のスパニングツリー T を持つ三角形なし部分立方体グラフ G に対して、mac(G) ≥ w(G)/2 + 0.3193 · w(T) であることを示しており、ツリー重みに対する強い線形依存性を示している。
• DFSツリーを最大重みDFSツリーに置き換えると、下界の計算がNP困難になることが証明されている。これは三角形なしグラフに対しても同様に成り立つ。
• 本稿は、任意の三角形なしグラフ G と任意のスパニングツリー T に対して、mac(G) ≥ w(G)/2 + 3w(T)/8 であると予想しており、これは8/11の下界を一般化するものである。
• 最大次数 ∆ を持つ三角形なしグラフに対して、mac(G) ≥ a∆ · w(G) であることを確立しており、a∆ > 1/2 である。また、Theorem 5.12の下界が ∆ ≤ 16 のとき、Shearerの下界よりも強いことを示している。