[論文レビュー] Lower bounds for moments of L-functions: symplectic and orthogonal examples

Zeév Rudnick, K. Soundararajan|ArXiv.org|Jan 20, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、正規直交群およびシンプレクティック群のL関数の族における中心L値のモーメントについて、予想されるオーダーの非自明な下界を確立する。スペクトル法と近似関数等式を用いて、偶数の整数 r および k に対して、重み k ≡ 0 mod 4 である正則モジュラー尖点形式 f における L(1/2, f) の r 階モーメントは (log k)^{r(r−1)/2} のオーダーで増大することを証明し、また、2次ディリクレ指標 χ_d における L(1/2, χ_d) の k 階モーメントは X(log X)^{k(k+1)/2} のオーダーで増大する。これは Keating–Snaith の予想と漸近的に一致する。

ABSTRACT

We give lower bounds of the conjectured order of magnitude for an orthogonal and a symplectic family of L-functions.

研究の動機と目的

• 正規直交群およびシンプレクティック群の族におけるL関数のモーメントの、正しいオーダーの下界を確立すること。予想される増大率は対数関数の累乗または X に対数項を乗じたものである。
• ユニタリ族に対して以前に開発した手法を正規直交群およびシンプレクティック群の族へと拡張し、各対称性タイプにおけるモーメントの下界の包括的図を完成させること。
• Keating–Snaith の予想がこれらの族におけるモーメントの漸近的予測と一致することを検証すること。

提案手法

• レベル1で重み k ≡ 0 mod 4 である正則モジュラー尖点形式の族に対して、Peterssonノルムから導かれる調和重みを用いて、重み付きモーメントを定義する。
• L(1/2, f) に対して近似関数等式を適用し、中心L値をHecke固有値と滑らかな重み関数 W(ξ) を含む和として表現する。
• A(f, x) = ∑_{n≤x} λ_f(n)/√n という切り捨て和を導入し、A(f)^{r−1} と L(1/2, f) を含むモーメントを構成することで、スペクトル的技法の適用を可能にする。
• Peterssonのトレース公式と文字和の推定を用いて、基本的判別式 d に関する和を解析し、Möbius関数と2次特徴の和を用いる。
• 部分和公式と乗法的関数の評価を用いて誤差項を制御し、主項を特定する。主項は、積 nn₁⋯n_{k−1} が平方数である場合に生じる。
• 奇数の平方自由整数に関する除数和の既知の漸近的推定を用いて、シンプレクティック族における主項が X(log X)^{k(k+1)/2} を寄与することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み k ≡ 0 mod 4 である正則モジュラー尖点形式 f における L(1/2, f) の r 階モーメントの正しいオーダーは何か？ また、予想される (log k)^{r(r−1)/2} によって下から抑えられるか？
• RQ2 2次ディリクレ指標 χ_d における L(1/2, χ_d) の k 階モーメントについて、Keating–Snaith の予想が下から検証可能か？ 予想される増大率 X(log X)^{k(k+1)/2} が達成されるか？
• RQ3 ユニタリ族に用いられた手法が正規直交群およびシンプレクティック群の族へと拡張可能か？ また、その手法により、予想される漸近的挙動と一致する鋭い下界が得られるか？

主な発見

• 任意の偶数整数 r に対して、重み k ≡ 0 mod 4 である正則モジュラー尖点形式 f における L(1/2, f) の r 階モーメントは、∑_{f∈H_k} ω_f^{-1} L(1/2, f)^r ≫_r (log k)^{r(r−1)/2} を満たす。
• 任意の偶数整数 k に対して、|d| ≤ X である基本的判別式 d における L(1/2, χ_d) の k 階モーメントは、∑_{|d|≤X}^♭ L(1/2, χ_d)^k ≫_k X(log X)^{k(k+1)/2} を満たす。
• 2次L関数の4階モーメントの下界は、Keating–Snaith の漸近的予想と正確に一致し、主項は (D(4) + o(1))X(log X)^10 である。
• k が偶数でない場合、L(1/2, χ_d)^k を |L(1/2, χ_d)|^k に置き換えることで、有理数の指数 k ≥ 1 に対してもこの手法を拡張可能である。
• シンプレクティック族における主項は、インデックスの積が平方数である場合に生じ、その大きさは奇数の平方自由整数に関する除数和によって制御され、正しい対数的累乗が得られる。