[論文レビュー] Lower bounds for moments of zeta and $L$-functions revisited

Winston Heap, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、短いディリクレ多項式によるオイラー積の近似を用いて、臨界線上のリーマン・ゼータ関数およびL関数のモーメントに対する鋭い下界を確立する新規な手法を開発する。T が十分に大きく、k ∈ [(log T)^{-1/2}, 2] のとき、|ζ(1/2 + it)| の 2k次のモーメントは、明示的な定数を用いて C_k T (log T)^{k^2} で下から抑えられることを証明する。これは、従来の結果を 0 < k ≤ 1 の臨界範囲にまで拡張し、リーマン予想に依存しない形で、有理数 k に関する条件付き結果をも上回る。

ABSTRACT

This paper describes a method to compute lower bounds for moments of $ζ$ and $L$-functions. The method is illustrated in the case of moments of $|ζ(\frac 12+it)|$, where the results are new for small moments $0&lt; k&lt;1$.

研究の動機と目的

• 0 < k ≤ 1 の範囲で、リーマン・ゼータ関数 ζ(1/2 + it) のモーメントについて、正しいオーダーの大きさの鋭い下界を確立すること。ここでは、従来の結果が条件付きまたは有理数 k に制限されていた。
• これまで上界の評価に用いられた短いディリクレ多項式によるオイラー積の近似法を、下界の問題に応用する方法を拡張すること。
• 第二モーメントが未知であるようなL関数の族、特にディリクレL関数の中心L値、二次の字、第二モーメントが不明なL関数族に対し、非条件的かつ定量的な下界を提供すること。
• 小規模および大規模なモーメントを統一的に取り扱うために、k ∈ [(log T)^{-1/2}, 2] の範囲で、同じ手法が最適な下界をもたらすことを示すこと。

提案手法

• この手法は、dyadicな素数区間の和を用いて、Euler積 ∏_p (1 - p^{-s})^{-α} を近似するディリクレ多項式 𝒩(s, α) を構成する。
• 素数を dyadic 区間 [T_{j-1}, T_j) に分割し、各区間における部分和 P_j = ∑_{T_{j-1} ≤ p < T_j} 1/p が対数的に増加するように T_j を選ぶ。
• 各区間に対して、多項式 𝒩_j(s, α) を、指数関数の切り捨て級数 ∑_{r=0}^{K_j} (1/r!) (α 𝒫_j(s))^r として定義する。ここで 𝒫_j(s) は j 番目の素数区間におけるディリクレ多項式である。
• 鍵となるアイデアは、ホルダーの不等式を用いて |ζ(1/2 + it)| の 2k 次モーメントを、このような多項式の積の L^2 範囲に結びつけることである。直交性および平均値推定を活用する。
• ディリクレ多項式の平均値定理を用いて、𝒩_j(1/2 + it, k) の L^2 範囲を推定し、素数の積 ∏_p (1 + k^2/p) に帰着させる。これは漸近的に (log T)^{k^2} に比例する。
• k ≥ 1 の場合にこの手法を拡張するため、T_j および K_j の定義を調整し、第二モーメントの制御を避けるために第一モーメントおよび第二モーメントの推定のみを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0 < k ≤ 1 の範囲で、短いディリクレ多項式によるオイラー積の近似法を、ζ(1/2 + it) のモーメントに対する鋭い下界に適応できるか。
• RQ2 k ∈ (0,1) の範囲で、|ζ(1/2 + it)| の 2k 次モーメントの最良の下界は何か。さらに、非条件的かつ定量的効果を持つようにできるか。
• RQ3 この手法は、第二モーメントが不明であるようなL関数族、特に新形式の二次的変形に拡張可能か。
• RQ4 リーマン予想の下での条件付き結果と比較して、|ζ(1/2 + it)| の大きな値の測度に対する下界はどのように異なるか。
• RQ5 k ∈ [(log T)^{-1/2}, 2] の範囲で、予想されるオーダー T (log T)^{k^2} に一致する一様な下界を、2k 次モーメントに対して得られるか。

主な発見

• T が十分に大きく、k ∈ [(log T)^{-1/2}, 2] のとき、|ζ(1/2 + it)| の 2k 次モーメントは、∫_T^{2T} |ζ(1/2 + it)|^{2k} dt ≫_k T (log T)^{k^2} を満たす。明示的な定数を用いる：k ≤ 1 のとき C_k = C_1 k、k > 1 のとき C_k = (C_2 k^2 log(ek))^{-k^2}。
• この下界は非条件的であり、従来の結果（リーマン予想に依存するか、有理数 k に制限されていた）を上回る。
• ヒープ、ラドジヴィル、サウンダララジャンによる上界と組み合わせることで、k ∈ [(log T)^{-1/2}, 2] の範囲でモーメントが T (log T)^{k^2} のオーダーであることが示され、予想される漸近的オーダーが裏付けられる。
• この手法により、大きな値の測度に対する鋭い下界が得られる：meas{t ∈ [T,2T] : |ζ(1/2 + it)| ≥ e^V} = T exp( -V^2 / log log T + O( V log log log T / √(log log T) ) ) が、V が √(log log T) log log log T ≤ V ≤ 2 log log T - ⋯ の範囲で成り立つ。
• この手法は他のL関数族にも適用可能である：素数 q を法とするディリクレL関数では、∑_{χ mod q} |L(1/2, χ)|^{2k} ≫_k q (log q)^{k^2}；二次的変形では、∑_{|d| ≤ X}^♭ |L(1/2, χ_d)|^{k} ≫_k X (log X)^{k(k+1)/2}。
• 新形式 f の二次的変形について、第二モーメントが不明であっても、k ≥ 1 に対して ∑_{|d| ≤ X}^♭ L(1/2, f × χ_d)^k ≫_k X (log X)^{k(k-1)/2} が得られる。