[論文レビュー] Lower Bounds for Multiplication via Network Coding

Peyman Afshani, Casper Benjamin Freksen+2 more|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Feb 28, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無向 $k$-ペアネットワークコーディング予想が正しいものと仮定すると、乗算またはシフト演算を計算するブール回路に対する条件付き $Ω(n\lg n)$ の下界を確立する。この結果は、乗算が定数次数の回路で $O(n)$ サイズでは計算できないことを示し、フーラーの上界とほぼ一致しており、加算よりも乗算が厳密に難しいことを示している。

ABSTRACT

Multiplication is one of the most fundamental computational problems, yet its true complexity remains elusive. The best known upper bound, by Fürer, shows that two $n$-bit numbers can be multiplied via a boolean circuit of size $O(n \lg n \cdot 4^{\lg^*n})$, where $\lg^*n$ is the very slowly growing iterated logarithm. In this work, we prove that if a central conjecture in the area of network coding is true, then any constant degree boolean circuit for multiplication must have size $Ω(n \lg n)$, thus almost completely settling the complexity of multiplication circuits. We additionally revisit classic conjectures in circuit complexity, due to Valiant, and show that the network coding conjecture also implies one of Valiant's conjectures.

研究の動機と目的

• 乗算の回路複雑性に対する条件付き下界を確立すること、これは根本的な計算問題である。
• 乗算の複雑性を中心的な無向 $k$-ペアネットワークコーディング予想と結びつけること。
• 同じ予想のもとで、より単純なシフト問題でさえ $Ω(n\lg n)$ の回路サイズを要することを示すこと。
• ネットワークコーディング予想が、ヴァイアントの深さ削減予想を含む、回路複雑性における長年の予想を示唆すること。
• ネットワークコーディングの原則を用いて回路下界を導出するための新しい枠組みを提供すること。

提案手法

• シフト問題に乗算問題を還元し、文字列を $j$ 位置シフトすることは $2^j$ との乗算に等しいことを示す。
• $n/k$ 個のソース・シンクペアを持つネットワークコーディングインスタンスを構築し、シフト操作を通信タスクとしてモデル化する。
• 情報の流れをシミュレートし、エッジ上のエントロピー制約を導出するために $\mathcal{F}$-補正ゲームを用いる。
• シャノンの情報源符号化定理を適用し、エッジ上のメッセージのエントロピーをエッジ容量に関連付ける。
• 無向バージョンのネットワークに対してマルチコモディティフロー解析を実施し、ネットワークコーディング予想が成り立つものとする。
• フロー保存則、エントロピーの上限、容量制約を組み合わせることで、部分グラフにおけるエッジ数の下界を導出する。

Figure 1: The depth $3$ circuit $C$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数次数のブール回路において、乗算の複雑性は $\Omega(n\lg n)$ で下から抑えられるか？
• RQ2 無向 $k$-ペアネットワークコーディング予想は、基本的な算術演算の強力な回路下界を示唆するか？
• RQ3 乗算の特殊ケースであるシフト演算は、回路複雑性において加算よりも本質的に複雑性が高いか？
• RQ4 ネットワークコーディング予想は、ブール回路におけるヴァイアントの深さ削減予想を示唆するか？
• RQ5 ネットワークコーディングに基づく還元を用いて、他の計算問題に対してもタイトな下界を導出できるか？

主な発見

• 無向 $k$-ペアネットワークコーディング予想が成り立つと仮定すると、乗算を計算する任意の定数次数ブール回路は、サイズ $\Omega(n\lg n)$ を要する。
• 同じ下界は、$n$ ビットの文字列を $\lg n$ ビットのインデックス分シフトするより単純なシフト問題にも適用可能である。
• この結果はフーラーの上界 $O(n\lg n \cdot 4^{\lg^* n})$ にほぼ一致しており、乗算が加算よりも厳密に難しいことを示している。
• ネットワークコーディング予想はヴァイアントの深さ削減予想を示唆し、回路複雑性における2つの主要な未解決問題を結びつける。
• この証明手法は巡回シフトに対しても拡張可能であり、同様の下界がこの変種に対しても成り立つことが示された。

Figure 2: Given the $2$ -layer circuit $\Gamma$ spanned by $x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{n}$ , we construct the communication network graph $G$ .