[論文レビュー] Lower Bounds for Set-Blocked Clauses Proofs

Emre Yolcu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ピーコンホールド原理の2進符号化を用いて、集合ブロック化された節の証明（SBC−）に対する指数的下界を確立し、SBC−が拡張解釈（ER）よりも指数的に弱いことを証明する。さらに、RAT−とGER−もSBC−から指数的に分離されていることが示され、弱い拡張解釈システム間の相対的強さの階層が完成する。

ABSTRACT

We study propositional proof systems with inference rules that formalize restricted versions of the ability to make assumptions that hold without loss of generality, commonly used informally to shorten proofs. Each system we study is built on resolution. They are called BC${}^-$, RAT${}^-$, SBC${}^-$, and GER${}^-$, denoting respectively blocked clauses, resolution asymmetric tautologies, set-blocked clauses, and generalized extended resolution - all "without new variables." They may be viewed as weak versions of extended resolution (ER) since they are defined by first generalizing the extension rule and then taking away the ability to introduce new variables. Except for SBC${}^-$, they are known to be strictly between resolution and extended resolution. Several separations between these systems were proved earlier by exploiting the fact that they effectively simulate ER. We answer the questions left open: We prove exponential lower bounds for SBC${}^-$ proofs of a binary encoding of the pigeonhole principle, which separates ER from SBC${}^-$. Using this new separation, we prove that both RAT${}^-$ and GER${}^-$ are exponentially separated from SBC${}^-$. This completes the picture of their relative strengths.

研究の動機と目的

• 弱い拡張解釈システム間の相対的証明複雑性に関する未解決問題を解消すること。
• SBC−、RAT−、GER−、および拡張解釈（ER）の間の完全な分離階層を確立すること。
• SBC−が、一般性を失わずに推論できるにもかかわらず、ERを多項式的にシミュレートできないことを示すこと。
• 代わりに、割り当て制限と節ブロッキング性質に基づく、新たな分離技術を提供すること。

提案手法

• 証明複雑性の下界を求めるために、ピーコンホールド原理の2進符号化（BPHPn）を硬い論理式として用いる。
• X ∪ U の変数を含まない節のみを保持する制限付き割り当て α を導入する。
• SBC−導出をシミュレートするために、集合ブロック化された節の推論規則に基づくブロッキング条件を適用する。
• Γ から Σ|α の節が SBC− によって導出可能であることを示すために、証明変換技術を用いる。
• GER− および SPR− における既知の多項式サイズの証明を活用して、サイズ比較を確立する。
• 組合せ的数え上げ（|∆| < 2m）を用いて矛盾を導出し、指数的下界を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SBC− は拡張解釈（ER）を多項式的にシミュレートできるか？
• RQ2 RAT− と GER− は SBC− よりも指数的に強いか？
• RQ3 SBC− が2進ピーコンホールド原理に対して有する正確な証明複雑性は何か？
• RQ4 SBC− が一般性を失わずに推論できる能力が、硬い組合せ的原理に対して多項式証明を達成するのに不十分であることはあるか？
• RQ5 どのような節の構造的性質が、SBC− における効率的導出を可能または不可能にするか？

主な発見

• SBC− は2進ピーコンホールド原理に対して指数的サイズの証明を必要とし、2Ω(n) の下界を確立する。
• GER− は同じ論理式に対して多項式サイズの証明を許容するため、GER− と SBC− の間で指数的分離が証明される。
• RAT− は SBC− から指数的に分離されており、分離階層が完成する。
• 証明技法は、制限下でも節ブロッキングを保持する特定の割り当て β′ を構築することに依存する。
• SBC− が対称性推論の一部をシミュレートできることにもかかわらず、下界は成立する。
• 結果は、SBC− が ER よりも厳密に弱いことを確認する。これは、SBC− がピーコンホールドやTseitinのタautologiesといった原理を処理できるにもかかわらずである。