[論文レビュー] Lower bounds of martingale measure densities in the Dalang-Morton-Willinger theorem

Dmitry B. Rokhlin|ArXiv.org|Apr 10, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、資産価格の価格変動の条件付き分布と $L^p$-空間における双対性を用いて、与えられた確率変数 $f$ によって下から有界な密度を持つ等価なマルティングール測度の存在に関する有効な基準を確立する。主な貢献は、損失制約下での効用関数の有界性を用いた、このような下界の特徴付けであり、非一様な下界に対するダラン＝モートン＝ウィリングァーの定理における空白を解消する。

ABSTRACT

For a $d$-dimensional stochastic process $(S_n)_{n=0}^N$ we obtain criteria for the existence of an equivalent martingale measure, whose density $z$, up to a normalizing constant, is bounded from below by a given random variable $f$. We consider the case of one-period model (N=1) under the assumptions $S\in L^p$; $f,z\in L^q$, $1/p+1/q=1$, where $p\in [1,\infty]$, and the case of $N$-period model for $p=\infty$. The mentioned criteria are expressed in terms of the conditional distributions of the increments of $S$, as well as in terms of the boundedness from above of an utility function related to some optimal investment problem under the loss constraints. Several examples are presented.

研究の動機と目的

• 与えられた確率変数 $f$ によって下から有界な密度を持つ等価マルティングール測度の存在を特徴付けることにより、ダラン＝モートン＝ウィリングァーの定理を拡張すること。
• 価格変動 $\Delta S_n$ の条件付き分布を用いて、このような下界の必要十分条件を提示すること。
• 特に $p=\infty$ の場合に標準的な双対性結果が失敗するため、一様に下から有界な密度を持つマルティングール測度の存在問題を解消すること。
• 最適投資における損失制約との関連を示し、このような測度の存在と $L^p$-損失制約下での期待利益の有界性との同値性を示すこと。
• 先行文献（[6]の定理6.1）における誤った結果を是正するため、$p=\infty$ の設定において $\langle X,f\rangle$ の $K_1$ 上での有界性が、下界付き密度の存在を示さないことを示す反例を提示すること。

提案手法

• 共役指数 $q$ を満たす $L^p$-空間における双対性（$1/p + 1/q = 1$）を用い、下界付きマルティングール測度密度の存在を双対空間における実現可能性問題に再定式化する。
• $g \geq f$ a.s. かつすべての $X \in K$（利益プロセス空間）に対して $\langle X,g\rangle = 0$ である条件を、正規化された部分集合 $K_1 = \{X \in K : \|X^-–\|_p \leq 1\}$ 上での $\langle X,f\rangle$ の有界性として表現する。
• $S \in L^p$, $f,z \in L^q$ の下で1期間の場合（$N=1$）と、$p=\infty$ の場合の $N$ 期間の場合を、$\mathscr{F}_{n-1}$ における $\Delta S_n$ の正規化条件付き分布を用いて分析する。
• 条件付き分布のサポートとしての可測な集合値写像 $\varkappa_{n-1}(\omega)$ を導入し、その相対的内部が原点を含むことが、主要な幾何的条件であることを用いる。
• $p=\infty$ の場合に標準的な双対性が失敗するため、特に関数解析の結果、特に $\tau(L^\infty, L^1)$ のマッキー位相を用いる。
• 反例（例5.4）を明示的に構成し、$p=\infty$ の場合に $\langle X,f\rangle$ が $K_1$ 上で有界であっても、下界付き密度 $g$ の存在を保証しないことを示し、[6]における主張を無効にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた確率変数 $f$ によって下から有界な密度を持つ等価マルティングール測度が存在する条件は何か？
• RQ2 このような測度の存在は、資産価格変動 $\Delta S_n$ の条件付き分布を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ3 なぜ[6]の双対性結果は $L^\infty$ の設定で失敗するのか？下界付き密度の存在に適切な条件は何か？
• RQ4 下界付きマルティングール測度の存在は、損失制約下での期待利益の有界性と結びつけることができるか？
• RQ5 集合 $\text{conv}(\varkappa_{n-1})$ の相対的内部が原点を含むという条件が、このような測度の存在に果たす役割は何か？

主な発見

• $p \in (1,\infty)$ の場合、密度が $f$ によって下から有界なマルティングール測度の存在は、集合 $K_1 = \{X \in K : \|X^-–\|_p \leq 1\}$ 上での $\langle X,f\rangle$ の有界性と同値である。
• $p=\infty$ の場合、$\langle X,f\rangle$ が $K_1$ 上で有界であることは十分でない。代わりに、$f$ がマッキー位相 $\tau(L^\infty, L^1)$ における原点の近傍で上界に有界でなければならない。
• 反例（例5.4）により、$f=1$ の場合に $\sup_{X \in K_1} \langle X,f\rangle < \infty$ であっても、一様に下から有界な密度 $g$ が存在しないことが示され、[6]の定理6.1が無効であることが判明する。
• $\text{conv}(\varkappa_{n-1})$ の相対的内部がほとんど確実に原点を含むという条件は、下界付き密度の存在に必要であるが十分ではない。追加の可積分性および有界性条件が必要である。
• 正の定数 $c$ によって下から有界な密度を持つマルティングール測度の存在は、特定の集合 $A_j$ に対して $\mathsf{E}(g I_{A_j}) \geq c/2$ を意味するが、$\mathsf{P}(A_j) \to 0$ のときドミニオンド収束定理に反するため、サポートおよびモーメント条件を注意深く取り扱う必要がある。
• 戦略 $\gamma$ を構成し、$\mathsf{E}G_2^\gamma = \infty$ だが $G_2^\gamma \geq -1$ a.s. であることを示した。これは、一時期の利益が有界であっても、損失が有界な条件下で期待利益が無限大になり得ることを示しており、特に1期間の利益が有界であっても、期待利益が無限大になり得ることを示している。