[論文レビュー] Lower Bounds of the Discretization for Piecewise Polynomials

Qun Lin, Hehu Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、楕円型問題および固有値問題における区分的多項式有限要素近似の離散化誤差に対して鋭い下界を確立する。正確な解が有限要素空間に属しない場合、Sobolevノルムにおける誤差が $ ch^{r-j} $ で下から抑えられることを証明することで、標準的な上界が最適であることを確認し、メッシュおよび解の正則性に関する最小限の仮定の下で有限要素収束率の鋭さを裏付ける。

ABSTRACT

Assume that $V_h$ is a space of piecewise polynomials of degree less than $r\geq 1$ on a family of quasi-uniform triangulation of size $h$. Then the following well-known upper bound holds for a sufficiently smooth function $u$ and $p\in [1, \infty]$ $$ \inf_{v_h\in V_h}\|u-v_h\|_{j,p,Ω,h} \le C h^{r-j} |u|_{r,p,Ω},\quad 0\le j\le r. $$ In this paper, we prove that, roughly speaking, if $u ot\in V_h$, the above estimate is sharp. Namely, $$ \inf_{v_h\in V_h}\|u-v_h\|_{j,p,Ω,h} \ge c h^{r-j},\quad 0\le j\le r, \ \ 1\leq p\leq \infty, $$ for some $c>0$. The above result is further extended to various situations including more general Sobolev space norms, general shape regular grids and many different types of finite element spaces. As an application, the sharpness of finite element approximation of elliptic problems and the corresponding eigenvalue problems is established.

研究の動機と目的

• 区分的多項式有限要素近似における離散化誤差の鋭い下界を確立すること。
• 標準的な上界誤差が最適であることを示すために、$ h^{r-j} $ に比例する正の下界が存在することを証明すること。
• 下界の結果を一般形状正則かつ準均一メッシュにまで拡張し、適合および非適合有限要素空間（例えば、非適合型を含む）に対しても適用すること。
• 下界を用いて、2次および $ 2m $ 次楕円型問題およびそれらの固有対問題における有限要素近似の鋭さを確認すること。

提案手法

• 準均一三角形分割上でのSobolevノルムおよび区分的多項式近似を用いて、最良近似誤差 $ \inf_{v_h \in V_h} \|u - v_h\|_{j,p,\Omega,h} $ の下界を導出する。
• 重要な技術的条件を採用：正確な解 $ u $ が $ V_h $ に属しない場合、任意の部分領域 $ G \subset\subset \Omega $ において、$ r $ 階のSobolev半ノルム $ |u|_{r,p,G} > 0 $ が成り立つこと。
• 変分定式化および離散固有対問題を用いて、2次および $ 2m $ 次楕円型問題に対する有限要素法に下界を適用する。
• 超収束および補間理論を用いて、滑らかさおよびメッシュ正則性の最小限の仮定の下で下界を導出する。
• モーリー要素およびMWX要素などの非適合要素に対しても、$ D^\gamma v_h = 0 $ となる $ \gamma $（$ |\gamma| = r $）が存在することを確認することで、結果を拡張する。
• 解および固有関数近似の両方について、$ L^p $ およびSobolevノルムにおける下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的多項式近似における標準的な上界誤差 $ Ch^{r-j} $ は、下界が存在するという意味で鋭いか？
• RQ2 解およびメッシュにどのような条件下で、有限要素近似の離散化誤差が $ \|u - u_h\|_{j,p} \geq c h^{r-j} $ を満たすか？
• RQ3 $ 2m $ 次楕円型問題およびそれらの固有値問題における有限要素近似の鋭さを、下界を用いて厳密に確立できるか？
• RQ4 モーリー要素やMWX要素などの非適合有限要素法に対しても、離散化誤差の最適下界が成立するか？

主な発見

• 任意の十分に滑らかな関数 $ u \notin V_h $ に対して、$ 0 \leq j \leq r $ および $ 1 \leq p \leq \infty $ に対して、最良近似誤差が $ \inf_{v_h \in V_h} \|u - v_h\|_{j,p,\Omega,h} \geq c h^{r-j} $ を満たす。ここで $ c > 0 $ は $ h $ に依存しない。
• この下界は、準均一および一般形状正則な三角形分割に対しても成り立ち、従来の結果をより広いメッシュクラスにまで拡張する。
• 2次楕円型問題に対しては、有限要素解が $ \|u - u_h\|_{j,p,h} \geq C h^{r-j} $ を満たし、収束率の鋭さが確認される。
• $ 2m $ 次楕円型問題に対しては、解および固有関数近似の両方に対して同じ下界が成り立ち、MWX要素族では $ r = m+1 $ となる。
• 固有対近似誤差は、準均一メッシュでは $ \|u - u_h\|_{j,p,h} \geq C_{19} h^{r-j} $ を満たし、正則メッシュでは弱いが依然として消えない下界が成り立つ。
• 結果は、アリジス、ヒーシェ・クロウフ・トーチャー、モーリー、MWX要素など、さまざまな有限要素種別に対して有効であり、解が任意の部分領域で次数 $ r $ の多項式でない限り成立する。