[論文レビュー] Lower bounds on maximal determinants of +-1 matrices via the probabilistic method

Richard P. Brent, Judy-anne H. Osborn+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 60被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、確率的技法を用いて、$n \times n$ の$\pm 1$-行列の最大行列式に対する新たな下界を確立し、正規化された行列式$\mathcal{R}(n) = D(n)/n^{n/2}$が、$h$ を $n$ 以下の最大のハダマール順序とする$d = n - h$にのみ依存する正の定数$\kappa_d$によって下から抑えられることを示している。主な結果は、固定された$d$に対して$n$に依存しない下界を導くことで、従来の下界を改善しており、$\mathcal{R}(n) > 0.07 \cdot (0.352)^d$（すべての$n$に対して成り立つ）や、ハダマール予想が成り立つと仮定すれば$\mathcal{R}(n) \geq (2/\pi e)^{d/2}$が得られる。

ABSTRACT

We show that the maximal determinant D(n) for $n imes n$ ${\pm 1}$-matrices satisfies $R(n) := D(n)/n^{n/2} \ge κ_d > 0$. Here $n^{n/2}$ is the Hadamard upper bound, and $κ_d$ depends only on $d := n-h$, where $h$ is the maximal order of a Hadamard matrix with $h \le n$. Previous lower bounds on R(n) depend on both $d$ and $n$. Our bounds are improvements, for all sufficiently large $n$, if $d > 1$. We give various lower bounds on R(n) that depend only on $d$. For example, $R(n) \ge 0.07 (0.352)^d > 3^{-(d+3)}$. For any fixed $d \ge 0$ we have $R(n) \ge (2/(πe))^{d/2}$ for all sufficiently large $n$ (and conjecturally for all positive $n$). If the Hadamard conjecture is true, then $d \le 3$ and $κ_d \ge (2/(πe))^{d/2} > 1/9$.

研究の動機と目的

• $n$ が 4 の倍数でない場合を含め、$n \times n$ の$\pm 1$-行列の最大行列式$D(n)$に対する改善された下界を確立すること。
• 正規化された行列式$\mathcal{R}(n) = D(n)/n^{n/2}$が、$h$ を $n$ 以下の最大のハダマール順序とする$d = n - h$にのみ依存する正の定数$\kappa_d$によって下から抑えられることを示すこと。$n$ と $d$ の両方に依存するのではなく、$d$ のみに依存する。
• 従来の下界が$n$とともに減少する（例：$(3/4)^{n/2}$）のを改善し、固定された$d$に対して$n$に依存しない下界を導出すること。
• 例外的な$n$を計算的に取り扱うことで、すべての$n$に対して成り立つように結果を保証すること。

提案手法

• $h \times h$ のハダマール行列を用いて、$d = n - h$ 個の新しい列と行にランダムに$\pm 1$ の要素を追加することで、$n \times n$ の$\pm 1$-行列を構築する。
• ハダマールブロックのシュール補行列を用いて、全体の行列式を表現し、行列式の期待値に関する確率的解析を可能にする。
• ホーフディングの尾部確率不等式を適用し、シュール補行列が高確率で対角優勢であることを示し、その行列式が対角成分の積に近いことを保証する。
• 新しい不等式（補題8および補題10）を用いて、対角優勢行列の行列式に対する下界を導出し、ゲルシュゴリンの定理に基づくものよりも鋭いものとする。
• マグマを用いた確率的アルゴリズムを用い、漸近的定理が適用されない例外的な$n$に対して$\mathcal{R}(n)$の下界を計算で求める。パレイや会議行列の構成を用いる。
• 中間のハダマール順序が存在する可能性のある端境ケースに対処するため、近傍の素数や会議行列を用いてテストを行い、すべての$n$に対して下界が成り立つように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $h$ を $n$ 以下の最大のハダマール順序とする$d = n - h$が固定されたとき、$\mathcal{R}(n)$ の下界を$n$ に依存しない形にできるか。
• RQ2 ハダマール順序の既知のギャップに制限される$d$が与えられたとき、すべての$n$に対して成り立つ最良の普遍的な下界は何か。
• RQ3 確率的技法を用いて、従来の結果（例：$(3/4)^{n/2}$）よりも鋭く、$n$ に依存しない下界を導けるか。
• RQ4 計算的検証と解析的下界をどのように組み合わせて、例外的なケースを含めすべての$n$に対して成り立つ結果を得られるか。

主な発見

• すべての$n$に対して、正規化された行列式は$\mathcal{R}(n) > 0.07 \cdot (0.352)^d$を満たす。ここで$d = n - h$、$h$ は$n$ 以下の最大のハダマール順序である。これは、固定された$d$に対して$n$ に依存しない普遍的な下界を提供する。
• ハダマール予想が成り立つと仮定すれば、すべての$n$に対して$\mathcal{R}(n) \geq (2/\pi e)^{d/2} > 1/9$が成り立ち、従来の結果を著しく改善する。
• $\mathcal{R}(n) > 3^{-(d+3)}$ はすべての正の整数$n$に対して成り立つ。定数は最適ではないが、普遍性を保証する。
• $d \leq 3$ の場合、系1により、十分大きな$n$に対して$\mathcal{R}(n) \geq (2/\pi e)^{d/2}$が成り立ち、これはすべての$n > 0$ に対して成り立つと予想されており、ロキツキらの予想する$1/2$の境界に近づく。
• 表1にリストされた例外的な$n$に対して、パレイまたは会議行列の構成を用いたマグマベースの確率的アルゴリズムにより、$\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ がすべての$n$に対して成り立つことを証明した。
• 著者らは、拡張された行列のシュール補行列が高確率で対角優勢であることを示し、新規の不等式（補題8および補題10）を用いてその行列式の鋭い下界を得た。これはゲルシュゴリンに基づくものよりも鋭い。