[論文レビュー] Lower Bounds on the Complexity of MSO1 Model-Checking

Robert Ganian, Petr Hliněný+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Formal Methods in Verification参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、木幅が多対数的に無限大に近づく部分グラフ閉じたグラフクラスに対して、頂点ラベル付き MSO₁ モデルチェックイングが、非一様指数時間仮説（ETH）が成立しない限り XP に属さないことを確立している。この結果は、従来の下界を強化したものであり、MSO₂ ではなく MSO₁ を対象とし、有効な構成に依存しないより強い複雑性仮定を用いることで、その仮定の下での下界を示している。

ABSTRACT

One of the most important algorithmic meta-theorems is a famous result by Courcelle, which states that any graph problem definable in monadic second-order logic with edge-set quantifications (i.e., MSO2 model-checking) is decidable in linear time on any class of graphs of bounded tree-width. Recently, Kreutzer and Tazari proved a corresponding complexity lower-bound - that MSO2 model-checking is not even in XP wrt. the formula size as parameter for graph classes that are subgraph-closed and whose tree-width is poly-logarithmically unbounded. Of course, this is not an unconditional result but holds modulo a certain complexity-theoretic assumption, namely, the Exponential Time Hypothesis (ETH). In this paper we present a closely related result. We show that even MSO1 model-checking with a fixed set of vertex labels, but without edge-set quantifications, is not in XP wrt. the formula size as parameter for graph classes which are subgraph-closed and whose tree-width is poly-logarithmically unbounded unless the non-uniform ETH fails. In comparison to Kreutzer and Tazari; $(1)$ we use a stronger prerequisite, namely non-uniform instead of uniform ETH, to avoid the effectiveness assumption and the construction of certain obstructions used in their proofs; and $(2)$ we assume a different set of problems to be efficiently decidable, namely MSO1-definable properties on vertex labeled graphs instead of MSO2-definable properties on unlabeled graphs. Our result has an interesting consequence in the realm of digraph width measures: Strengthening the recent result, we show that no subdigraph-monotone measure can be "algorithmically useful", unless it is within a poly-logarithmic factor of undirected tree-width.

研究の動機と目的

• 木幅が無限大に近づくグラフクラスにおける MSO₁ モデルチェックイングの計算複雑性下界を確立すること。
• Kreutzer と Tazari の MSO₂ 下界を、頂点ラベル付き MSO₁ 論理に拡張すること。
• 部分グラフ閉じたグラフクラスにおいて、木幅が多対数的に無限大に近づく場合、MSO₁ モデルチェックイングが効率的に行えないことを示すこと。ただし、非一様 ETH が成立しない限り。
• 有向グラフ幅測度のアルゴリズム的限界と、無向木幅との関係を分析すること。
• クライQUE幅や、部分グラフに関して単調な他の幅パラメータに対する影響を検討すること。

提案手法

• 複雑性理論的仮定として、非一様指数時間仮説（ETH）を用いる。
• 下部の無向グラフの木幅が無限大に近づくが、δ幅（仮想的な有向グラフ幅測度）が有界であるような有向グラフの族を構成する。
• アドバイス関数を用いて、グリッドに類似した構造で、定数のδ幅を持つ有向グラフを生成する。
• 先行研究の技術を適応し、有向グラフ上で無向グラフの MSO₁ モデルチェックイングをシミュレートする。
• MSO₁ モデルチェックイングがこのようなクラスに対して XP に属すると仮定すると、3-彩色問題がアドバイス付きで非指数的時間で解けることになり、非一様 ETH に反する。
• 頂点ラベル付き無向グラフ上の MSO₁ 論理式を、対称的な弧に隣接関係を置き換えることで、有向グラフ上の等価な論理式に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点ラベル付き MSO₁ モデルチェックイングは、木幅が多対数的に無限大に近づく部分グラフ閉じたグラフクラスに対して XP に属するか？
• RQ2 部分グラフ単調であるが、木幅を著しく上回る有向幅測度は、アルゴリズム的に有用である可能性があるか？
• RQ3 非一様 ETH は、木幅が無限大に近づくグラフクラスにおける MSO₁ モデルチェックイングの tractability にどのような影響を与えるか？
• RQ4 この下界結果は、木幅が無限大に近づくがクライQUE幅が無限大に近づくグラフクラスにおいて、ラベルなし MSO₁ 論理に拡張可能か？ただし、基本的な MSO₁ に対しては効率的なモデルチェックイングが可能であると仮定する。
• RQ5 部分グラフに関して単調な幅測度と木幅との間に、構造的なギャップが存在するか？

主な発見

• 頂点ラベル付き MSO₁ モデルチェックイングは、多対数的に無限大に近づく木幅をもつ部分グラフ閉じたグラフクラスに対して、非一様 ETH が成立しない限り XP に属さない。
• 部分有向グラフ単調な有向幅測度は、無向木幅の多対数的要因の範囲内にない限り、アルゴリズム的に有用ではない。
• この結果は、非一様 ETH の下で成り立つ。これにより、従来の証明で用いられる有効性仮定を避けることができる。
• 証明技法は、明示的な障害を構成するのではなく、アドバイス関数と非一様計算に依存する。
• この結果は、部分グラフに関して単調な幅パラメータが、十分に無限大に近づく木幅をもつグラフクラスにおいて、MSO₁ モデルチェックイングを効率的にサポートできないことを示唆する。
• この結果は、クライQUE幅が MSO₁ の FPT モデルチェックイングを可能にするが、部分グラフ単調性を保つようにはできないと示唆する。