[論文レビュー] Lower bounds on the quantum Fisher information based on the variance and various types of entropies

G. Tóth|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、分散とQFI/4の差を分析することで、量子フィッシャー情報量（QFI）の新たな下界を確立している。この差は一般化分散に等しくなり、線形エントロピーに比例する上界が導かれる。主な貢献は、QFI、分散、エントロピーの間の定量的関係を示したことであり、ほぼ純粋状態ではQFI/4が分散を近似することを示しており、量子メトロロジーおよびもつれ検出に応用される。

ABSTRACT

We examine important properties of the difference between the variance and the quantum Fisher information over four, i.e., $(ΔA)^2-F_{ m Q}[\varrho,A]/4.$ We find that it is equal to a generalized variance defined in Petz [J. Phys. A 35, 929 (2002)] and Gibilisco, Hiai, and Petz [IEEE Trans. Inf. Theory 55, 439 (2009)]. We present an upper bound on this quantity that is proportional to the linear entropy. As expected, our relation shows that for states that are close to being pure, the quantum Fisher information over four is close to the variance. We also obtain the variance and the quantum Fisher information averaged over all Hermitian operators, and examine its relation to the von Neumann entropy. Apart from the usual quantum Fisher information, we also consider the Kubo-Mori-Bogoliubov quantum Fisher information.

研究の動機と目的

• 量子状態における分散と量子フィッシャー情報量（QFI）/4の差の厳密な上界を確立すること。
• この差を一般化分散およびエントロピック測度（特に線形エントロピーおよびフォン・ノイマンエントロピー）に関連付けること。
• すべてのエルミート演算子におけるQFIの平均を分析し、フォン・ノイマンエントロピーおよび状態の純度に関連付けること。
• Kubo-Mori-Bogoliubov QFIへの結果の拡張を行い、相対エントロピーおよび線形ダイナミクスとの関係を明確にすること。
• 実験的量子メトロロジーを支援するため、測定可能な量（分散およびエントロピー）からQFIを推定する定量的フレームワークを提供すること。

提案手法

• $ V(\varrho,A) = (\Delta A)^2 - \frac{1}{4}F_{\rm Q}[\varrho,A] $ を導入し、QFIが分散からどれほど逸脱しているかを定量化する。
• $ V(\varrho,A) $ が Petz (2002) および Gibilisco et al. (2009) で定義された一般化分散に等しいことを証明し、量子情報幾何と関連付ける。
• $ V(\varrho,A) $ の上界を線形エントロピーに比例する形で導出し、ほぼ純粋状態ではその値が小さいことを示す。
• トレース正規化された基底を用いて、すべてのエルミート生成子におけるQFIの平均を計算し、状態の固有値および $ |A_{12}|^2 $ の平均で表す。
• 恒等式 $ \sum_{k,l} \frac{(\lambda_k - \lambda_l)^2}{\lambda_k + \lambda_l} = d - H(\varrho) $ を用い、平均QFIをフォン・ノイマンエントロピーに関連付ける。
• 相対エントロピーを用いてKubo-Mori-Bogoliubov QFIを分析し、$ \theta $ が小さいとき $ F_{\rm Q}^{\log}[\varrho,A] \approx \frac{2}{\theta^2} S(\varrho \Vert \varrho_\theta) $ が成り立つことを示し、相対エントロピーおよび線形ダイナミクスと結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散と $ F_{\rm Q}/4 $ の差は、エントロピーおよび純度などの量子情報測度とどのように関係するか？
• RQ2 分散およびエントロピック量のみを用いて、量子フィッシャー情報量を下界から評価できるか？
• RQ3 すべてのエルミート演算子における平均QFIは何か？ また、フォン・ノイマンエントロピーにどのように依存するか？
• RQ4 Kubo-Mori-Bogoliubov QFIは相対エントロピーおよび線形ダイナミクスとどのように関係するか？
• RQ5 純度が異なる状態において、QFI/4は分散をどの程度よく近似するか？

主な発見

• $ V(\varrho,A) = (\Delta A)^2 - \frac{1}{4}F_{\rm Q}[\varrho,A] $ は、Petz (2002) および Gibilisco et al. (2009) で定義された一般化分散に等しい。
• 線形エントロピーに比例する上界 $ V(\varrho,A) \leq \frac{1}{2}(1 - \text{Tr}(\varrho^2)) $ が導かれる。これは、ほぼ純粋状態では小さいことを示している。
• ランク2状態では $ V(\varrho,A) = \frac{1}{2}(1 - \text{Tr}(\varrho^2)) $ が成り立ち、タイトな解析的表現が得られる。
• すべてのエルミート演算子における平均QFIは $ \overline{F}_{\rm Q}[\varrho] = 4(d - H(\varrho)) \overline{|A_{12}|^2} $ であり、$ H(\varrho) $ はフォン・ノイマンエントロピーである。
• 平均QFIは純粋状態で最大となり、それらのメトロロジー的利点を確認する。また、$ \overline{F}_{\rm Q}[\varrho] $ は状態に関して凸である。
• Kubo-Mori-Bogoliubov QFIは、$ \theta $ が小さいとき $ F_{\rm Q}^{\log}[\varrho,A] \approx \frac{2}{\theta^2} S(\varrho \Vert \varrho_\theta) $ を満たすことが示され、相対エントロピーおよび線形ダイナミクスと結びつけられる。