[論文レビュー] Lower large deviations and laws of large numbers for maximal flows through a box in first passage percolation

Raphaël Rossignol, Marie Théret|ArXiv.org|Jan 7, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}^d$ 上の最初の通過時間パーコレーションにおける最大フローの下位大偏差原理を確立し、スケーリングされたフロー $\tau/s$ および $\phi/s$ が異常に小さくなる確率が、表面積 $s$ に比例する速度で指数的に減少することを示している。両フローの平均法則は、最適なモーメント条件のもとで、ほぼ準加法性および集中不等式を用いて証明され、先行研究を一般化されたボックスの向きや弱いモーメント仮定へと拡張している。

ABSTRACT

We consider the standard first passage percolation model in $\mathbb{Z}^d$ for $d\geq 2$. We are interested in two quantities, the maximal flow $τ$ between the lower half and the upper half of the box, and the maximal flow $ϕ$ between the top and the bottom of the box. A standard subadditive argument yields the law of large numbers for $τ$ in rational directions. Kesten and Zhang have proved the law of large numbers for $τ$ and $ϕ$ when the sides of the box are parallel to the coordinate hyperplanes: the two variables grow linearly with the surface $s$ of the basis of the box, with the same deterministic speed. We study the probabilities that the rescaled variables $τ/s$ and $ϕ/s$ are abnormally small. For $τ$, the box can have any orientation, whereas for $ϕ$, we require either that the box is sufficiently flat, or that its sides are parallel to the coordinate hyperplanes. We show that these probabilities decay exponentially fast with $s$, when $s$ grows to infinity. Moreover, we prove an associated large deviation principle of speed $s$ for $τ/s$ and $ϕ/s$, and we improve the conditions required to obtain the law of large numbers for these variables.

研究の動機と目的

• 一般化されたボックスの向きおよび高さ関数に対して、$\mathbb{Z}^d$ 上の最初の通過時間パーコレーションにおける最大フロー $\tau$ および $\phi$ の下位大偏差原理を確立すること。
• $\tau$ および $\phi$ の平均法則に必要なモーメント条件を改善し、特に無理数方向や非直線的ボックスに対して有効にすること。
• 下位大偏差確率が表面積 $s$ に従って指数的に速く減少することを示し、速度 $s$ における大偏差原理を確立すること。
• ケステンとチャンの $\phi$ の平均法則に関する結果を、より一般化されたボックス幾何と弱いモーメント仮定へと拡張すること。
• 適切な条件下で、$\phi$ のレート関数が $\tau$ のそれと一致することを示し、既存の上位偏差結果を活用すること。

提案手法

• 無理数方向では準加法性が失われるため、最大フロー $\tau_n$ のほぼ準加法性を用いてこれを回避する。
• 集中不等式および指数モーメントの境界を用いて、スケーリングされたフローの下側尾部確率を制御する。
• 容量分布を有界化するための切断を用いた還元の後、カップリングの議論により一般分布への結果の拡張を行う。
• $\phi$ と $\tau$ が弱い条件下で同じレート関数を持つことを示す重要な補題（補題6.1）に依存する。
• テレの（2007年）$\phi$ の上位尾部の大偏差原理を用い、対称性と双対性により下位尾部解析を完成させる。
• ファトウの補題および一様可積分性を用いて、スケーリングされたフローのほとんど確実収束を $L^1$ 収束に強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたボックスの向きに対して、スケーリングされた最大フロー $\tau/s$ がその漸近的値より著しく小さくなる確率の減少速度は何か。
• RQ2 準加法性が失れる無理数方向において、$\tau_n$ の平均法則が成り立つためのモーメント条件は何か。
• RQ3 非直線的で平らなシリンダーまたは一般化された超直方体ボックスに対して、$\phi_n$ の下位大偏差原理を確立できるか。
• RQ4 同じ条件下で、$\phi_n$ の下位偏差のレート関数は $\tau_n$ のそれと同一か。
• RQ5 ケステンとチャンの元々の結果と比較して、$\phi_n$ の平均法則に必要なモーメント条件を弱めることができるか。

主な発見

• 任意のボックスの向きに対して、$\tau_n/s$ が異常に小さくなる確率は、表面積 $s$ に従って指数的に速く減少する。
• $\phi_n$ に関しては、ボックスが平らであるか、座標超平面に平行な面を持つ場合、下位大偏差確率は指数的に速く減少する。
• 適切な条件下で、$\tau_n/s$ および $\phi_n/s$ の両方について、速度 $s$ における大偏差原理が確立され、同じレート関数を持つ。
• 最適なモーメント条件 $\mathbb{E}[t(e)^{d-1}] < \infty$ の下で、任意の固定方向（無理数方向を含む）において $\tau_n$ の平均法則が成り立つ。
• $\phi_n$ に関しては、より弱いモーメント条件と高さ条件 $\log h(n)/n^{d-1} \to 0$ の下で平均法則が成り立ち、ケステンとチャンの結果を改善する。
• 同じ条件下で、$\phi_n$ のレート関数が $\tau_n$ のそれと一致することが示され、両フローの間の深い関係が確認された。