[論文レビュー] Lower Semi-Continuity of the Index in the Visosity Method for Minimal Surfaces

Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^Q$ の部分多様体 $M^m$ 内の $W^{3,2}$-埋め込みで向き付けられた閉じた曲面の空間にヒルベルト多様体構造を確立し、最小曲面の指数の厳密な解析を可能にする。この構造を用いて、粘性近似およびバブルツリー収束におけるモース指数の下半連続性を証明し、粘性パラメータが消える極限における指数の安定性を保証する。

ABSTRACT

The goal of the present work is twofold. First we prove the existence of an Hilbert Manifold structure on the space of immersed oriented closed surfaces with three derivatives in $L^2$ in an arbitrary sub-manifold $M^m$ of an euclidian space $R^Q$. Second, using this Hilbert manifold structure, we prove a lower semi continuity property of the index for sequences of conformal immersions, critical points to the viscous approximation of the area satisfying Struwe entropy estimate and bubble tree strongly converging in $W^{1,2}$ to a limiting minimal surface as the viscous parameter is going to zero.

研究の動機と目的

• $M^m \subset \mathbb{R}^Q$ 内の $W^{3,2}$-埋め込みで向き付けられた閉じた曲面の空間にヒルベルト多様体構造を確立すること。
• 等角埋め込みの粘性近似およびバブルツリー収束におけるモース指数の挙動を分析すること。
• 粘性面積汎関数の臨界点の列が $W^{1,2}$ で強い収束により最小曲面に収束する場合の、指数の下半連続性を証明すること。
• マークされた点を保存する微分同相写像による埋め込みの商空間を構成し、滑らかさと再パrametrization 不変性を保証すること。

提案手法

• $\mathfrak{M}_b(M^m)$ を、マークされた点を保存する正の $W^{3,2}$-微分同相写像による $W^{3,2}$-埋め込みの商の直和として構成する。
• $\vec{\Phi}$ に対し、接ベクトルを $(\wedge^{1,0}\Sigma)^{\otimes 2}$ の $W^{2,2}$-切断の空間へ写像する線形作用素 $D^*_{\vec{\Phi}}$ を導入し、正則な二次形式の直交補空間へ射影する。
• 同変な滑らかな写像 $\vec{w}_{\vec{\Phi}}$ と $\Psi_{\vec{\Phi}}$ を用いたスライス定理の構成により、商空間の局所自明化を達成する。
• ストルーフェのエントロピー推定とバブルツリーの強 $W^{1,2}$ 収束を適用し、粘性極限における面積汎関数の第二変分を制御する。
• 第二変分 $D^2F(\vec{\Phi})(\vec{w},\vec{w})$ の明確な点付き表現を、第二基本形式 $\vec{\mathbb{I}}_{\vec{\Phi}}$、計量 $g_{\vec{\Phi}}$、および変位 $\vec{w}$ の微分を用いて導出する。
• $\Sigma$ 上での積分により第二変分の一様な $L^2$-有界性を確立し、極限における指数を制御する重要な推論 (A.21) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相写像群がバナッハリー群としての構造を持たないにもかかわらず、マークされた点を保存する微分同相写像による商をとった $W^{3,2}$-埋め込み曲面の空間に、厳密にヒルベルト多様体構造を構成できるか？
• RQ2 粘性パラメータがゼロに近づく極限において、強 $W^{1,2}$ 収束により最小曲面に近づく埋め込み列の臨界点のモース指数は、下半連続性を満たすか？
• RQ3 粘性近似における面積汎関数の第二変分はどのように振る舞い、第二基本形式および変位場を用いて一様に有界にできるか？
• RQ4 バブルツリー収束とストルーフェのエントロピー推定は、極限における指数安定性をどの程度制御できるか？
• RQ5 $\mathfrak{M}_b(M^m)$ の商空間に、微分同相写像の作用と整合する滑らかなヒルベルト多様体構造を導入できるか？

主な発見

• $M^m$ 内のマークされた点を保存する $W^{3,2}$-埋め込み曲面の空間 $\mathfrak{M}_b(M^m)$ は、適切に定義されたヒルベルト多様体構造を持つ。
• $\mathrm{Imm}_b(M^m) \to \mathfrak{M}_b(M^m)$ の標準的射影 $\Pi$ は滑らかであり、商空間上での微分幾何的解析を可能にする。
• 粘性面積汎関数の臨界点である等角埋め込みの列に対して、粘性パラメータがゼロに近づく極限においてモース指数は下半連続である。
• 第二変分 $D^2F(\vec{\Phi})(\vec{w},\vec{w})$ は、$|\vec{\mathbb{I}}_{\vec{\Phi}}|^{2}$ および $|\partial\vec{w}|^2$ を含む正定値の二次形式から下から有界であり、指数の安定性を保証する。
• 推論 (A.21) により、$|D^2F(\vec{\Phi})(\vec{v}(\vec{\Phi}),\vec{v}(\vec{\Phi}))| \leq C \int_{\Sigma} (1 + |\vec{\mathbb{I}}_{\vec{\Phi}}|^2) (|\partial\vec{v}|^2 + |\partial^2\vec{v}|^2) \, dvol_{g_{\vec{\Phi}}}$ が成り立ち、極限における一様な制御が得られる。
• 第二変分の一様な制御とバブルツリーの強 $W^{1,2}$ 収束から、指数の下半連続性が従い、粘性極限における指数安定性が確認される。