[論文レビュー] Lower semicontinuity of mass under $C^0$ convergence and Huisken's isoperimetric mass

Jeffrey L. Jauregui, Dan A. Lee|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非負のスカラー曲率と外側最小境界をもつ漸近的に平坦な3次元多様体について、$C^0$ チーガー＝グロモフ収束下でのADM質量の下半連続性を確立する。ヒュイケンの等周質量概念と、小周囲成分を凍結させる修正された弱い平均曲率フローを用いることで、極限空間の等周質量が系列のADM質量の下極限以上に抑えられることを証明し、$C^2$ 結果をはるかに弱い位相に拡張しつつ、スカラー曲率との深い関係を保持する。

ABSTRACT

Given a sequence of asymptotically flat 3-manifolds of nonnegative scalar curvature with outermost minimal boundary, converging in the pointed $C^0$ Cheeger--Gromov sense to an asymptotically flat limit space, we show that the total mass of the limit is bounded above by the liminf of the total masses of the sequence. In other words, total mass is lower semicontinuous under such convergence. In order to prove this, we use Huisken's isoperimetric mass concept, together with a modified weak mean curvature flow argument. We include a brief discussion of Huisken's work before explaining our extension of that work. The results are all specific to three dimensions.

研究の動機と目的

• 漸近的に平坦な3次元多様体におけるADM質量の下半連続性を、$C^2$ から $C^0$ チーガー＝グロモフ収束に拡張すること。
• $C^0$ 収束における曲率の制御の欠如という課題に対処するため、面積と体積にのみ依存するHuiskenの等周質量を用いること。
• 従来の$C^2$ 収束と滑らかさを仮定した結果を一般化し、バートニクの最小質量拡張予想への応用を可能にすること。
• 曲率が崩壊したり特異的になる可能性があるような列の極限における質量の振る舞いを分析するための枠組みを確立すること。

提案手法

• 等周プロファイル関数を用いて定義されるHuiskenの等周質量を、面積と体積にのみ依存する$C^0$ データに基づく局所質量として用いる。
• 十分に小さな周囲をもつ連結成分を凍結させる修正された弱い平均曲率フローを導入し、制御不能な特異性を防ぐ。
• 平均曲率フローにおける等周プロファイルの単調性結果を、非連結で弱い流れを示す曲面へと適応する。
• 境界面積が発散する領域の逐次的断片化の対角線的議論を用い、等周質量と極限におけるADM質量を関連付ける。
• 等周質量が非負のスカラー曲率下でADM質量に関連する量以上に下から抑えられることを示す重要な技術的結果（定理17）を証明する。
• 固定されたコンact集合 $W$ を用いた比較議論により、多様体を覆う系列における等周質量の上極限が、グローバルな等周質量に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負のスカラー曲率をもつ3次元漸近的に平坦多様体において、ADM質量の下半連続性は$C^2$ から$C^0$ チーガー＝グロモフ収束に拡張可能か？
• RQ2 小周囲領域と非連結成分を扱えるように修正された弱い平均曲率フローにおいて、Huiskenの等周質量は適切に振る舞い、単調性を保つのか？
• RQ3 滑らかで漸近的に平坦な3次元多様体において、非負のスカラー曲率をもつ場合、等周質量はADM質量と等価となるか、特にADM質量が無限遠での積分で定義される場合でもそうか？
• RQ4 非負のスカラー曲率と外側最小境界をもつ多様体の列が$C^0$ 収束する場合、極限計量が連続である場合でも、質量に下界が保たれるか？
• RQ5 極限が滑らかでない場合でも、$C^0$ 収束下で等周質量概念がADM質量の代わりに十分に頑健であるか、特に極限においても有効か？

主な発見

• 極限空間における等周質量が $m_{\mathrm{iso}}(N,h) \leq \liminf_{i\to\infty} m_{\mathrm{ADM}}(M_i,g_i)$ を満たすことが、$C^0$ チーガー＝グロモフ収束下で示され、この設定における質量の下半連続性が証明された。
• 滑らかで漸近的に平坦な3次元多様体において非負のスカラー曲率をもつ場合、$m_{\mathrm{iso}}(M,g) = m_{\mathrm{ADM}}(M,g)$ が成り立つ。これはHuiskenが発表した結果を確認するものである。
• 小周囲成分を凍結させる修正された弱い平均曲率フローが構成され、特異性と非連結成分の制御が可能になった。
• 等周プロファイル関数 $\phi_m$ は、フローが非連結化しても単調非増加のままである。
• 境界面積が発散する領域の系列において、等周質量の上極限は、質量が正であればグローバルな等周質量に等しい。
• 証明により、等周質量は多様体を覆う系列を用いて計算可能であることが示され、極限におけるADM質量と関連付ける上で極めて重要である。