[論文レビュー] Lowest order stabilization free Virtual Element Method for the 2D Poisson equation

Stefano Berrone, Andrea Borio+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2次元ポアソン方程式に対する安定化項を不要とする最初の仮想要素法（E²VEM）を提案する。局所的仮想空間に高次多項式射影を組み込むことで、任意の安定化項なしに強制性を達成できる。この手法は、凸および非凸、および異方的メッシュを含む多角形メッシュ上でも、最適なH¹およびL²収束率を達成する。さまざまな頂点数を持つ多角形要素を用いた数値実験により検証された。

ABSTRACT

We introduce and analyse the first order Enlarged Enhancement Virtual Element Method (E$^2$VEM) for the Poisson problem. The method allows the definition of bilinear forms that do not require a stabilization term, thanks to the exploitation of higher order polynomial projections that are made computable by suitably enlarging the enhancement (from which comes the prefix of the name E$^2$) property of local virtual spaces. The polynomial degree of local projections is chosen based on the number of vertices of each polygon. We provide a proof of well-posedness and optimal order a priori error estimates. Numerical tests on convex and non-convex polygonal meshes confirm the criterium for well-posedness and the theoretical convergence rates.

研究の動機と目的

• 仮想要素法における安定化項の必要性をなくすために、局所的多項式射影を強化すること。
• 任意の多角形要素を有する多角形メッシュ上での2次元ポアソン問題に対する安定化項なしの定式化を開発すること。
• 最低次形式における適切な定式化と最適な事前誤差推定を証明すること。
• 凸、非凸、および異方的多角形メッシュ上での数値的検証を実施すること。
• 高次射影が安定化項なしに強制性を実現できることを示し、困難なケースにおけるロバスト性を向上させること。

提案手法

• 仮想要素空間に拡張された強化（E²）を導入し、高次多項式射影の計算を可能にする。
• 局所的双線形形式は多項式射影のみを用いて構築され、安定化項の必要性が排除される。
• 射影の多項式次数は1つの多角形の頂点数に基づいて選択され、l ≥ ℓ̂(N_E^V) を満たすことで強制性が保証される。
• 射影次数の十分な条件のもとで適切な定式化が証明され、強化された空間構造に依存する。
• 離散問題は局所的射影と標準VEMと同一の自由度に整合する自由度に基づいて定式化され、自由度数は同じままである。
• 数値的検証では、三角形、六角形、八角形、十六角形、および非凸多角形を含むメッシュ系列を用い、l は局所剛性行列のランク解析に基づいて選定された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式射影のみを用いて、2次元ポアソン方程式に対する安定化項なしの仮想要素法を構築可能か？
• RQ2 N_V 個の頂点を有する多角形に対して、離散双線形形式の強制性を保証するための最小多項式次数 l は何か？
• RQ3 安定化項の欠如が、非凸または異方的多角形メッシュ上での収束率に影響を与えるか？
• RQ4 頂点数に基づいて選択された l の選択が、数値的条件数および安定性に与える影響は何か？
• RQ5 提案されたE²VEM定式化は、安定化項なしで最適なH¹およびL²収束率を達成可能か？

主な発見

• E²VEM定式化は、非凸および異方的ケースを含むすべてのテストされた多角形メッシュ上で、最適なH¹収束率O(h)を達成する。
• 数値結果により、L²収束率が最適なO(h²)であることが確認された（補足資料による確認）。
• N_V 個の頂点を有する多角形に対して、ℓ̂(N_V) を満たす最小の l が強制性を保証する。hexagon（六角形）およびoctagon（八角形）では ℓ̂(N_V) = 2、hexadecagon（十六角形）では ℓ̂(N_V) = 3 である。
• 非凸ケース（重心に向かって中点頂点を収縮させた八角形）では、l = 2（すなわち ℓ̂(8) = 2）で十分に強制性が維持される。
• 同一の辺が整列している、または頂点数が多い（16および24辺）メッシュに対しても、最適な収束が維持される。
• 数値結果により、安定化項の欠如が異方的拡散問題における性能向上に寄与することが確認され、先行研究[18]で示された結果と一致する。