[論文レビュー] Lowest order stabilization free Virtual Element Method for the Poisson equation

Stefano Berrone, Andrea Borio+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 38被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、特別な双線形形式を構築することにより、安定化項を不要にする最初の順序拡大強化仮想要素法（E²VEM）をポアソン方程式に導入する。この手法は、適切な定式化を保証し、最適収束率を達成する。数値的に、凸および非凸多角形メッシュ上での有効性が検証された。

ABSTRACT

We introduce and analyse the first order Enlarged Enhancement Virtual Element Method (E$^2$VEM) for the Poisson problem. The method has the interesting property of allowing the definition of bilinear forms that do not require a stabilization term. We provide a proof of well-posedness and optimal order a priori error estimates. Numerical tests on convex and non-convex polygonal meshes confirm the theoretical convergence rates.

研究の動機と目的

• 安定化項を回避するポアソン問題の仮想要素法の開発を目的とする。
• 安定化を用いない場合の離散定式化の適切な定式化を保証すること。
• 仮想要素フレームワーク内での最適順序の事前誤差推定を達成すること。
• 凸および非凸多角形メッシュ上での手法の数値的検証。

提案手法

• ポアソン問題に対する最初の順序拡大強化仮想要素法（E²VEM）を提案する。
• 明示的な安定化項を必要とせず、安定性を内蔵する双線形形式を設計する。
• 近似性質を向上させるために、強化された多項式次数を有する仮想要素空間を採用する。
• 非適合離散化を扱うために、弱ガラーキンアプローチに基づく変分定式化を用いる。
• 局所的およびグローバルな自由度を定義し、仮想関数の内積のみを用いてグローバル剛性行列を構築する。
• 得られる離散問題が適切に定式化されており、エネルギーノルムにおいて最適収束を示すことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン方程式の仮想要素法を、安定化項を必要とせずに安定性と収束性を維持できる形で定式化できるか？
• RQ2 安定化を欠いた状況下で、離散定式化の適切な定式化を保証する条件は何か？
• RQ3 提案手法は一般の多角形メッシュ上でも最適順序の事前誤差推定を達成するか？
• RQ4 本手法は、凸および非凸多角形メッシュ上でも数値的にどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案されたE²VEM定式化は、いかなる安定化項も必要とせず、適切に定式化されている。
• エネルギーノルムにおいて、最適順序の事前誤差推定が証明された。
• 数値実験により、凸および非凸多角形メッシュ上での最適収束率が確認された。
• 安定化なしの定式化のおかげで、極めて歪んだ多角形要素に対しても最適収束が達成された。
• 安定化の欠如により、標準的なVEMと比較して実装が簡素化され、計算コストが低減された。
• 多項式近似次数に関わらず、最適収束が維持されることから、実用的・実装的安定性が示された。