[論文レビュー] Lp-cohomology of symmetric spaces

Pierre Pansu|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、負の曲率をもつ対称空間の$L^p$-コホロジーを調査し、非臨界$p$に対してはコホロジーが消えるか、理想境界上のBesov空間に同型であることを示している。水平線による再び引き戻しと流れ解析を用いて、$p$が開区間にあるときのねじれが消えることを証明し、次元と次数によって定まる正確な臨界指数を特定した。これは、双曲的および複素双曲的空間における結果の拡張である。

ABSTRACT

This is a short survey of Riemannian geometric applications of Lp-cohomology of thick spaces, p not equal to 2.

研究の動機と目的

• 負曲率をもつ厚いリーマン多様体の対称空間における$L^p$-コホロジーを理解すること。
• 減少$L^p$-コホロジーがハウスドルフとなる$p$およびねじれが消える$p$を特定すること。
• $L^p$-コホロジーを、特にBesov空間にあたる理想境界上の関数空間と関連付けること。
• 幾何学的・解析的技法を用いて、$p=2$の結果を一般の$p \neq 2$に拡張すること。
• 臨界指数が$L^p$-コホロジーの構造を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• $L^p$-コホロジーを、$L^p$外微分をもつ$L^p$-形式の複体$\Omega^{*,p}(M)$を用いて定義する。
• 減少コホロジー$R^{k,p}$を、$\Omega^{k,p} \cap \mathrm{Ker}\,d$の閉包による商としてハウスドルフ商として定義する。
• 水平線による再び引き戻しを用いて多様体を水平球面に変形し、フロー$\phi_t$における$L^p$-ノルムの収縮・拡大を解析する。
• 両側境界値法を適用し、形式を収縮部分($\omega_-$)と拡張部分($\omega_+$)に分割する。
• 積分作用素$B$を用いたチェーンホモトピー$P = 1 - dB - Bd$を構成し、$\Omega^{*,p}$とBesov複体$\mathcal{B}^{*,p}$を関連付ける。
• $\mathcal{B}^{*,p}$を、$L^p$に属する$-1$次微分作用素、$\iota_\xi$および$\iota_\xi d$を零にする形式として特徴づけ、非臨界$p$に対してそのコホロジーが$H^{*,p}$を計算することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負曲率をもつ対称空間の$L^p$-コホロジーが消えるか、非ハウスドルフになる$p$はどれか？
• RQ2 実双曲平面$H^2_\mathbb{R}$の$L^p$-コホロジーは、$B^{1/p}_{p,p}(S^1)$に定数を除いて同型であるか？
• RQ3 複素双曲空間$H^2_\mathbb{C}$の$L^p$-コホロジーの構造は何か？ また、ねじれ$T^{2,p}$が消える$p$はどれか？
• RQ4 臨界指数$\frac{n-1}{k-1}$は、$\mathcal{B}^{*,p}$の消滅および$H^{k,p}$の非消滅にどのように影響するか？
• RQ5 対称空間において、$L^p$-コホロジーは$p$に関して連続的に変化するか？ 特に$p=2$の周辺で特別な振る舞いは見られるか？

主な発見

• 実双曲平面$H^2_\mathbb{R}$において、すべての$p>1$に対して$H^{1,p}$は定数を除いてBesov空間$B^{1/p}_{p,p}(S^1)$に同型であり、$T^{1,p}=0$である。
• 複素双曲空間$H^2_\mathbb{C}$において、$2<p<4$のときねじれ$T^{2,p}=0$であり、一般に$H^m_\mathbb{C}$において$m \leq p < 2m$のとき$T^{2,p}=0$である。これはBesov複体と作用素$B$の有界性によって示された。
• 2次元の実双曲空間では、$H^{k,p}$が非ゼロかつハウスドルフであるのは、$p \in \left(\frac{n-1}{k}, \frac{n-1}{k-1}\right)$のときであり、次数$k$において$B^{1/p}_{p,p}(S^{n-1})$に同型である。
• $H^2_\mathbb{C}$において、減少コホロジーは開区間で非ゼロであり、臨界点$T^{2,4}$および$T^{3,4/3}$においてねじれが非ゼロであるため、臨界指数における非自明な構造が示された。
• $H^2_\mathbb{C}$の$L^p$-コホロジーは、$p=2$の周辺で連続的に変化し、$p=2$が1次元で臨界指数であるにもかかわらず、特段の振るまいは観察されなかった。
• 水平線による再び引き戻しと両側境界値作用素$B$の方法により、$L^p$-コホロジーはBesov複体$\mathcal{B}^{*,p}$のコホロジーに還元され、特定の状況では計算可能であることが示された。