[論文レビュー] Lp-integrability of the gradient of solutions to quasilinear systems with discontinuous coefficients

Lubomira G. Softova|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーフェンベルク平坦領域における不連続係数をもつ擬線形楕円型および放物型系の弱解の勾配の$L^p$-可積分性を確立する。BMO係数、制御された成長条件、および修正されたゲーリング型補題を用いて、$p > 2$ に対して $D\mathbf{u} \in L^p$ を証明し、$p$ がデータに明示的に依存することを示す。これにより、自然な$L^2$設定を超えた正則性結果が拡張される。

ABSTRACT

The Dirichlet problem for a class of quasilinear elliptic systems of equations with small-BMO coefficients in Reifenberg-flat domain is considered. The lower order terms supposed to satisfy controlled growth conditions. It is obtained Lp-integrability with p>2 of the gradient of the solution where p depends explicitly on the data. An analogous result is obtained also for the Cauchy-Dirichlet problem for quasilinear parabolic systems.

研究の動機と目的

• 不連続係数をもつ擬線形楕円型および放物型系の弱解について、勾配 $D\mathbf{u}$ の高階可積分性を確立すること。
• 下位項が $\mathbf{u}$ および $D\mathbf{u}$ に対して制御された成長条件を満たす場合の解の正則性を分析すること。
• 低正則性（リーフェンベルク平坦）領域における小BMO係数をもつ系に対して、カルデロン＝ジーゼル型推移を拡張すること。
• 可積分指数 $p$ がデータ（$L^p$ および $L^q$ 範囲の下位項）にどのように依存するかを明示的に導出すること。
• 近似およびトレース定理を用いて、滑らかまたはリプシッツ領域からより広いクラスのリーフェンベルク平坦領域への正則性結果の拡張を図ること。

提案手法

• 制御された成長および小BMO係数をもつ系に適応された修正ゲーリング補題のバージョンを用いる。
• 下位項の制御された成長が存在する状況において、勾配 $D\mathbf{u}$ の逆ヒルベルト不等式を通じたカルデロン＝ジーゼル性質の適用。
• 下位項における $\mathbf{u}$ および $D\mathbf{u}$ を固定することで擬線形系の線形化を行い、問題を線形系に還元する。
• データをより大きな $C^2$ 領域 $\Omega'$ に拡張し、熱および楕円型作用素に対する既知の $L^q$ 評価を用いて、$Q = \Omega \times (0,T)$ における解の制御を行う。
• リーフェンベルク平坦境界におけるトレース定理を適用し、$F^i|_S \in W^{2-1/q_1, 1-1/(2q_1)}(S)$ を保証することで、線形化系における境界制御を可能にする。
• 初期の $r_0$-正則性および指数比に依存する $k$ 回の反復によるブートストラップ法を用いて、可積分指数 $p$ を段階的に改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーフェンベルク平坦領域における不連続係数をもつ擬線形楕円型系について、勾配 $D\mathbf{u}$ の $L^p$-可積分性を確立できるか？
• RQ2 可積分指数 $p > 2$ は、特に下位項の $L^p$ および $L^q$ 範囲にどのように依存するか？
• RQ3 リーフェンベルク平坦空間時間シリンダ領域における制御された成長および小BMO係数をもつ擬線形放物型系について、カルデロン＝ジーゼル性質が成立するか？
• RQ4 近似およびトレース理論を用いて、滑らかまたはリプシッツ領域からより一般なリーフェンベルク平坦領域への正則性結果の拡張は可能か？
• RQ5 可積分性 $D\mathbf{u} \in L^p$ を達成するために必要な最小のブートストラップステップ数 $k$ は何か？

主な発見

• 任意の有界な弱解 $\mathbf{u} \in W_0^{1,2} \cap L^\infty(\Omega; \mathbb{R}^N)$ の勾配 $D\mathbf{u}$ は、$p > 2$ に対して $L^p(\Omega; \mathbb{R}^{N \times n})$ に属し、$p$ はデータに明示的に依存する。
• 可積分指数 $p$ は $p = \min\{p, q^*\}$ を満たし、ここで $q^*$ は $q$ のソボレフ共役であり、$q > \frac{2n}{n+2}$ を満たす。これにより、与えられた条件下で $p > 2$ が保証される。
• 放物型の場合、すべての $r \in [2, r_0)$ に対して $\|D\mathbf{u}\|_{r,Q} \leq N$ が成り立ち、$r_0 > 2$ であり、$r_0$ はデータおよび $\|D\mathbf{u}\|_{2,Q}$ に依存する。
• $k$ 回のブートストラップ反復後、$D\mathbf{u} \in L^p$ となり、$p$ は $r_0$、$n$、および制御された成長条件における指数に依存する。
• 結果は楕円型および放物型両方の系に適用可能であり、放物型の場合には $C^2$ 領域への拡張およびリーフェンベルク平坦境界におけるトレース定理に依存する。
• 最終的な評価 $\|D\mathbf{u}\|_{r_1,Q} \leq C(1 + \|\mathbf{f}\|_{q_1,Q} + \|\mathbf{A}\|_{p,Q})$ により、可積分性が下位項のノルムに依存することを確認する。