[論文レビュー] Lp-Nuclearity, traces, and Grothendieck-Lidskii formula on compact Lie groups

Julio Delgado, Michael Ruzhansky|Mar 19, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、非可換調和解析を用いて、コンパクトなリー群上の作用素の $L^p$-核型性および $r$-核型性の記号的基準を確立する。行列記号を $G \times \widehat{G}$ 上で用いることで、記号に正則性仮定を課さずにトレース公式や固有値分布に関する結果を得られる。主な貢献は、$r$-核型性インデックスと $L^p$-空間インデックスの鋭い関係を確立し、グロテンディックの $\frac{2}{3}$-核型性結果を非可換調和解析を用いて $L^p$-空間へ一般化することにある。

ABSTRACT

Given a compact Lie group $G$, in this paper we give symbolic criteria for operators to be nuclear and r-nuclear on Lp-spaces, with applications to distribution of eigenvalues and trace formulae. Since criteria in terms of kernels are often not effective in view of Carleman's example, in this paper we adopt the symbolic point of view. The criteria here are given in terms of the concept of matrix symbols defined on the non-commutative analogue of the phase space $G imes\hat{G}$, where $\hat{G}$ is the unitary dual of $G$.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群 $G$ に対して $L^p(G)$ 上の $r$-核型作用素の記号的基準を構築し、核関数に基づく手法の限界を克服すること。
• グロテンディックの $\frac{2}{3}$-核型性トレース公式を、$r$-核型性インデックスと $p$-インデックスの関係を用いて $L^p$-空間へ一般化すること。
• 行列記号を $G \times \widehat{G}$ 上に用いることで、$L^p(G)$ 上の作用素に対するトレース公式および固有値分布に関する結果を確立すること。
• すべての $t>0$ および $1 \leq p < \infty$ に対して、熱作用素 $e^{-t\mathcal{L}_G}$ が $L^p(G)$ 上で $r$-核型であることを証明し、明示的なトレース公式を導出すること。

提案手法

• 非可換位相空間 $G \times \widehat{G}$ 上で定義された行列記号を用いて $r$-核型性を特徴づける。ここで $\widehat{G}$ は $G$ のユニタリ双対である。
• 文献 [RT10a, RT12] に従うグローバル量子化技術を採用し、記号に正則性仮定を課さない。
• 記号の $r$-核型性を用いてグロテンディック＝リドスキーのトレース公式を適用し、$r$ は $p$ に依存する。
• 熱核記号 $\sigma_{e^{-t\mathcal{L}_G}}(x,\xi) = e^{-t|\xi|^2}I_{d_\xi}$ を用いて $r$-核型性およびトレース公式を導出する。
• $L^p$-ノルムの核成分の推定に $\|\overline{\xi}_{ij}\|_{L^{q_1}(G)} = d_\xi^{-1/\widetilde{q_1}}$ および作用素ノルムの上限を用いる。
• ウェイルの漸近公式を活用し、トレース級数 $\sum_{[\xi]} d_\xi^2 e^{-t\lambda_{[\xi]}^2} < \infty$ の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群上の作用素に対して、$1 \leq p < \infty$ の $L^p(G)$ 上での $r$-核型性を保証する記号的条件は何か？
• RQ2 トレース公式の文脈において、最適な $r$-核型性インデックスは $L^p$-空間インデックスとどのように関係するか？
• RQ3 熱作用素 $e^{-t\mathcal{L}_G}$ が $L^p(G)$ 上で $r$-核型であることを示せるか？ そのトレースは何か？
• RQ4 正則でない記号を用いて、グロテンディック＝リドスキーの公式を $L^p$-空間へどのように拡張できるか？
• RQ5 $\frac{2}{3}$-核型作用素のトレースから、固有値の数に対する下界をどのように導けるか？

主な発見

• すべての $t > 0$ および $1 \leq p < \infty$ に対して、熱作用素 $e^{-t\mathcal{L}_G}$ は $L^p(G)$ 上で $r$-核型であり、$r = 1$ であればトレースクラスである。
• $L^p(G)$ 上での $e^{-t\mathcal{L}_G}$ のトレースは $\operatorname{Tr}(e^{-t\mathcal{L}_G}) = \sum_{[\xi] \in \widehat{G}} d_\xi^2 e^{-t\lambda_{[\xi]}^2}$ で与えられ、すべての $p$ に対して有効である。
• $e^{-t\mathcal{L}_G}$ の $r$-核型性は $\sum_{\xi,ij} \|g_{\xi,ij}\|_{L^{p_2}} \|h_{\xi,ij}\|_{L^{q_1}} < \infty$ を用いて確立され、$q_1$ は $p_1$ の双対ノルムである。
• $L^p(G)$ 上の作用素 $T$ が $\frac{2}{3}$-核型であることは、$|\operatorname{Tr}(T)| / M \leq N$ を意味する。ここで $N$ は固有値の個数、$M$ はそれらの絶対値の上限である。
• 本手法は記号に正則性仮定を課さないため、従来のコーエン＝ニレングラント量子化と比較して顕著な利点を示す。
• $r$-核型性インデックスは $p$ に依存し、グロテンディック＝リドスキーの公式が成り立つように関連づけられる。これにより、$\frac{2}{3}$-インデックスが $L^p$-空間へ一般化される。