[論文レビュー] LP Rounding for k-Centers with Non-uniform Hard Capacities

Marek Cygan, MohammadTaghi Hajiaghayi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2012

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ひとこと要約

本稿では、非一様なハード容量を伴うkセンター問題に対する、初めての定数倍近似アルゴリズムを提示する。新しいLPラウンディング手法を用い、定数倍の近似比（正確な値は明示的に計算されていない）を達成した。非一様容量に対する7/5の整数性ギャップの下界を確立し、(3−ϵ)-近似が存在すればP=NPを示す。これは、この変種に対する強い近似不可能性を示している。

ABSTRACT

In this paper we consider a generalization of the classical k-center problem with capacities. Our goal is to select k centers in a graph, and assign each node to a nearby center, so that we respect the capacity constraints on centers. The objective is to minimize the maximum distance a node has to travel to get to its assigned center. This problem is NP-hard, even when centers have no capacity restrictions and optimal factor 2 approximation algorithms are known. With capacities, when all centers have identical capacities, a 6 approximation is known with no better lower bounds than for the infinite capacity version. While many generalizations and variations of this problem have been studied extensively, no progress was made on the capacitated version for a general capacity function. We develop the first constant factor approximation algorithm for this problem. Our algorithm uses an LP rounding approach to solve this problem, and works for the case of non-uniform hard capacities, when multiple copies of a node may not be chosen and can be extended to the case when there is a hard bound on the number of copies of a node that may be selected. In addition we establish a lower bound on the integrality gap of 7(5) for non-uniform (uniform) hard capacities. In addition we prove that if there is a (3-eps)-factor approximation for this problem then P=NP. Finally, for non-uniform soft capacities we present a much simpler 11-approximation algorithm, which we find as one more evidence that hard capacities are much harder to deal with.

研究の動機と目的

• 非一様ハード容量を伴うkセンター問題に対する、最初の定数倍近似アルゴリズムの開発を目的とする。
• 15年以上にわたり進展がなかった、非一様容量における定数倍近似の達成という長年の未解決問題に取り組む。
• P=NPを導くような(3−ϵ)-近似が存在しないことを示すことで、タイトな近似不可能性境界を確立する。
• 非一様および一様容量制約下での標準LP定式化の整数性ギャップを分析する。
• ハード容量モデルとソフト容量モデルの両方を扱えるようにアプローチを拡張し、両者の間の顕著な複雑性の差を示す。

提案手法

• 各頂点がたかだか1回しか選択されない非一様ハード容量を伴うkセンター問題に特化した、新しいLPラウンディングフレームワークを提案する。
• 容量制約を尊重しながら最大割り当て距離を最小化する、革新的なラウンディング技術を用いる。
• 問題を標準LP定式化に還元し、組合せ的構成を用いてその整数性ギャップを分析する。
• 任意の(3−ϵ)-近似がP=NPを導くことを示すために、Exact Cover by 3-Setsから直接の還元を採用する。
• kセンター問題の距離≤2の解がExact Coverインスタンスの解を示す、グラフに基づく還元を構築する。
• ラウンディングプロセスを単純化することで、ソフト容量モデルに対しても同様の手法を拡張し、11-近似アルゴリズムを提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様ハード容量を伴うkセンター問題において、各センターが異なる容量を持ち、頂点のコピーは1つまでしか選択されない場合に、定数倍近似が達成可能か？
• RQ2 この問題で達成可能な最良の近似比は何か？ 一様容量の場合と比較するとどうなるか？
• RQ3 非一様ハード容量における標準LP定式化の整数性ギャップに、非自明な下界が存在するか？
• RQ4 この問題に対して(3−ϵ)-近似アルゴリズムが存在すれば、P=NPが導かれるのか？
• RQ5 近似可能性の観点から、ハード容量モデルとソフト容量モデルの複雑さはどのように比較されるか？

主な発見

• 本稿では、非一様ハード容量を伴うkセンター問題に対する、初めての定数倍近似アルゴリズムをLPラウンディングを用いて提示し、長年の未解決問題を解決した。
• 非一様ハード容量に対して、少なくとも7/5の整数性ギャップが確立され、非制限版よりも著しく難しいことが示された。
• 一様ハード容量の場合、整数性ギャップは5または6であることが示され、よりタイトな境界の可能性が示唆された。
• 本稿では、非一様ハード容量に対する(3−ϵ)-近似アルゴリズムが存在すればP=NPを導くことを証明し、強い近似不可能性を確立した。
• 非一様ソフト容量の場合、より単純な11-近似アルゴリズムが提示され、ハード容量制約の難易度の高さが浮き彫りになった。
• Exact Cover by 3-Setsから非一様容量を伴うkセンター問題への還元により、従来の結果よりも直接的かつ単純な(3−ϵ)-近似不可能性の証明が得られた。