[論文レビュー] Lq Harmonic Functions on Graphs

Bobo Hua, Jürgen Jost|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲率や次数の上限がない無限、連結、局所的に有限な重み付きグラフ上で、調和関数および非負の上調和関数に対して $L^q$ リウビル型定理を確立する。非定数の $L^q$ 関数（$1 \leq q < \infty$）は、いかなる無限、連結、局所的に有限な重み付きグラフ上でも存在しえないことを示している。主な貢献は、$1 < q < 2$ の場合に先行研究のギャップを埋める新しい $L^q$ カッチォッポリ型不等式の導出であり、定量的な成長評価を可能にした。一方で、$0 < q < 1$ の場合の反例も示している。この結果は、主定理の反復適用により、多調和関数へと拡張可能である。

ABSTRACT

We prove an analogue of Yau's Caccioppoli-type inequality for nonnegative subharmonic functions on graphs. We then obtain a Liouville theorem for harmonic or non-negative subharmonic functions of class Lq, 1&lt;=q 1. Also, we provide counterexamples for Liouville theorems for 0 &lt; q &lt; 1.

研究の動機と目的

• 曲率や次数の上限がない一般の重み付きグラフ上で、$L^q$ 調和関数および非負上調和関数に対するリウビル型定理を確立すること。
• Rigoli-Salvatori-Vignatiが未解決として残したグラフ設定における $1 < q < 2$ の場合のギャップを、カッチォッポリ型不等式を用いて解消すること。
• 非負上調和関数の $L^q$（$q > 1$）における成長条件の定量的バージョンを提供すること。
• $0 < q < 1$ の場合に $L^q$ リウビル定理が成り立たないことを、体積が有限および無限のグラフ上で明示的な反例を構成することで示すこと。
• 無限体積のグラフ上における高次の多調和作用素へと $L^q$ リウビル結果を拡張すること。

提案手法

• リーマン幾何におけるYauの結果に類似した、非負上調和関数に対する新しい $L^q$ カッチォッポリ型不等式を導出すること。
• カッチォッポリ不等式を用いて、定量的な成長評価を証明する：非定数の非負上調和関数 $f$ が $L^q$ に属するとき、$1 < q < \infty$ に対して $\liminf_{R\to\infty} \frac{1}{R^2} \sum_{B_R(p)} f^q(x) \mu_x = \infty$ が成り立つ。
• 非負 $L^1$ 上調和関数が常に調和関数であることを示し、切断と調和性を用いて定数性を導出することで、$L^1$ リウビル定理を証明すること。
• 体積が有限および無限のグラフを用いて、$0 < q < 1$ の場合の明示的反例を構成し、非定数の $L^q$ 調和関数が存在することを示すこと。
• 主定理を高次の作用素に応用する。$\Delta^m f = 0$ かつ $f \in L^q$ ならば、無限体積のグラフ上では $1 \leq q < \infty$ に対して $f \equiv 0$ が成り立つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率や次数の上限がない一般の重み付きグラフ上で、非負上調和関数に対して $1 \leq q < \infty$ の $L^q$ リウビル定理が成り立つか？
• RQ2 グラフ設定における $1 < q < 2$ の場合の $L^q$ リウビル定理のギャップは、カッチォッポリ型不等式を用いて埋められるか？
• RQ3 $0 < q < 1$ の場合、どうなるか？グラフ上に非定数の $L^q$ 調和関数は存在するか？
• RQ4 $L^q$ リウビル定理は、グラフ上における高次の楕円型作用素の解へと拡張可能か？
• RQ5 $L^1$ リウビル定理は、追加の曲率仮定なしにグラフ上で成り立つか？

主な発見

• 本稿は、任意の無限、連結、局所的に有限な重み付きグラフ上において、$1 < q < \infty$ の $L^q$ に属する非負上調和関数が、$\liminf_{R\to\infty} \frac{1}{R^2} \sum_{B_R(p)} f^q(x) \mu_x = \infty$ を満たすことを証明し、定量的な成長条件を確立した。
• $q = 1$ の場合、非負 $L^1$ 上調和関数が常に定数であることを証明した。曲率や次数の上限を仮定しない。
• 体積が有限のグラフ上で、非定数の $L^q$ 調和関数の反例を構成し、$0 < q < 1$ の場合に $L^q$ リウビル定理が成り立たないことを示した。
• 無限体積のグラフ上でも、非定数の $L^q$ 調和関数が存在することを示す反例を別に提示し、$0 < q < 1$ の場合にリウビル定理が成立しないことを再確認した。
• 多調和関数へと $L^q$ リウビル定理を拡張した：無限体積のグラフ上において、$f \in L^q$ かつ $\Delta^m f = 0$（$m \geq 2$）ならば、$1 \leq q < \infty$ に対して $f \equiv 0$ が成り立つ。