[論文レビュー] LQR-based coupling gain for synchronization of linear systems

S. Emre Tuna|ArXiv.org|Jan 22, 2008

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 28被引用数 264

ひとこと要約

本稿では、固定された有向ネットワークを介して接続された任意の数の同一な連続時間線形システムのグローバルな同期を保証するLQRに基づく線形フィードバック則を提案する。ただし、結合が十分に強いものとする。結合の強さは、結合行列の非ゼロ固有値のうち虚軸からの最小距離によって定量化され、システム対 (A, B) の安定化可能性が満たされれば、漸近的同期が保証される。

ABSTRACT

Synchronization control of coupled continuous-time linear systems is studied. For identical systems that are stabilizable, a linear feedback law obtained via algebraic Riccati equation is shown to synchronize any fixed directed network of any number of coupled systems provided that the coupling is strong enough. The strength of coupling is determined by the smallest distance of a nonzero eigenvalue of the coupling matrix to the imaginary axis. A dual problem where detectable systems that are coupled via their outputs is also considered and solved.

研究の動機と目的

• 任意の固定された有向ネットワークトポロジーを持つ同一な線形システムの集合に対して、同期を保証するフィードバック則を設計すること。
• 同期を達成するために必要な最小結合強度を、結合行列のスペクトル特性を用いて定量化すること。
• 出力に基づく結合と検出可能システムを想定した双対問題への拡張。
• 解析的手法に依存するのではなく、最適制御理論（LQR）を用いた構成的解法の提供。
• 個々のシステムが安定でなくても、安定化可能性が満たされていれば強い結合下で同期が達成可能であることを示すこと。

提案手法

• 結合行列 Γ を用いて、p 個の同一な線形システムの同期問題を定式化する。Γ は非負の非対角成分と零和の行を持つ。
• Γ の固有ベクトル行列を用いた座標変換により、システムをブロック対角形式に変換し、一致モードを分離する。
• 線形二次調和制御（LQR）理論を適用し、各サブシステムの誤差ダイナミクスを安定化するフィードバックゲイン Kδ を計算する。
• 代数リカッチ方程式を用いて最適フィードバックゲイン Kδ を解き、Γ のすべての非ゼロ固有値 λi に対して、閉ループシステム行列 A + λiBKδ がハービット型であることを保証する。
• 結合行列のスペクトルギャップに依存して、誤差ダイナミクスが t → ∞ でゼロに収束することを証明し、同期を確立する。
• 検出可能なシステムが出力によって結合される双対問題に結果を拡張し、同じLQRに基づくフィードバック則を用い、ゲインスケーリングを変更する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分に強い結合のもとで、任意の有向ネットワークトポロジーに適用可能な一様なフィードバック則を設計できるか？
• RQ2 このようなフィードバック則が存在するための、安定性を超えた最小限のシステム理論的仮定は何か？
• RQ3 結合の強さを、結合行列のスペクトル特性に基づいてどのように定量化できるか？
• RQ4 同じLQRに基づくアプローチを、出力のみが共有される出力フィードバック結合の状況に適応できるか？
• RQ5 個々のシステムが不安定であっても、安定化可能性が満たされていれば、LQRに基づくフィードバック則は有効に機能するか？

主な発見

• 代数リカッチ方程式から導かれるLQRに基づくフィードバックゲイン Kδ により、結合行列 Γ のすべての非ゼロ固有値 λi に対して A + λiBKδ がハービット型であることが保証される。
• 結合が十分に強い、すなわち −Re(λ2(Γ)) ≥ δ > 0 が成り立つ限り、任意の固定された有向ネットワークにおける同一な線形システムのグローバルな同期が達成される。
• フィードバック則はシステム行列 (A, B) と結合強度 δ のみに依存するため、ネットワークトポロジーの変更に対してもロバストである。
• 双対問題では、出力によって結合される検出可能なシステムに対しても、適応されたLQRゲインを用いて同期が達成可能であり、入力スケーリングは δ−1 に比例する。
• 個々のシステムが安定でなくても、(A, B) の安定化可能性が満たされていれば、結果は成り立つ。
• 同期の収束速度はスペクトルギャップ δ によって決定され、δ が大きいほど収束が速くなる。