[論文レビュー] Luenberger observers for infinite-dimensional systems, Back and Forth Nudging and application to a crystallization process

Lucas Brivadis, Vincent Andrieu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、弱検出可能性仮定の下で、時変無限次元システムに対するLuenberger観測器を構築し、弱位相において漸近的状態推定を可能にするとともに、追加条件のもとで強い収束を達成する。本稿では、周期的境界条件を満たす1次元輸送方程式でモデル化された結晶化プロセスにおいて、初期状態を再構築するためにBack and Forth Nudgingアルゴリズムを適用し、弦長分布データから結晶サイズ分布を推定する。

ABSTRACT

This paper deals with the observer design problem for time-varying linear infinite-dimensional systems. We address both the problem of online estimation of the state of the system from the output via an asymptotic observer, and the problem of offline estimation of the initial state via a Back and Forth Nudging (BFN) algorithm. In both contexts, we show under a weak detectability assumption that a Luenberger-like observer may reconstruct the so-called observable subspace of the system. However, since no exact observability hypothesis is required, only a weak convergence of the observer holds in general. Additional conditions on the system are required to show the strong convergence. We provide an application of our results to a batch crystallization process modeled by a one-dimensional transport equation with periodic boundary conditions, in which we try to estimate the Crystal Size Distribution from the Chord Length Distribution.

研究の動機と目的

• 正確な可観測性を仮定しない時変線形無限次元システムの状態推定問題に対処すること。
• 弱検出可能性を満たすシステムに適用可能な、オフライン初期状態再構築のためのBack and Forth Nudgingアルゴリズムを拡張すること。
• 可観測部分空間における弱位相での観測器の収束を確立するとともに、追加のシステム仮定のもとで強い収束を達成すること。
• 時間変動する輸送方程式でモデル化された現実のバッチ結晶化プロセスに理論的枠組みを適用すること。
• 標準的手法では直接観測できない弦長分布測定値から結晶サイズ分布を推定すること。

提案手法

• 弱検出可能性条件の下で、同じ出力を持つ軌道間の距離が非増加であるという条件下で、時変無限次元システムに対するLuenbergerに類似した観測器を提案する。
• 前向きと後向きに繰り返し時間発展を行うことで初期状態を再構築するBack and Forth Nudging（BFN）アルゴリズムを導入する。
• 可観測部分空間（時間区間内での出力測定値によって区別可能な状態の集合）の概念を用いる。
• 弱検出可能性仮定のもとで、観測器が状態の可観測部分空間への射影に弱収束することを確立する。
• システムの追加的な構造的性質（例：散逸性、スペクトル性質）を満たす条件を導出し、それらのもとで観測器の強い収束を達成する。
• 周期的境界条件を満たす1次元輸送方程式に理論的枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な可観測性を仮定しない時変無限次元システムに対して、Luenberger観測器を設計可能か？
• RQ2 観測器が可観測部分空間に弱収束または強収束する条件は何か？
• RQ3 弱検出性が成立する場合、Back and Forth Nudgingアルゴリズムは時変システムの初期状態を再構築可能か？
• RQ4 提案された観測器フレームワークは、正確な可観測性を満たさない現実の結晶化プロセスにどのように適用可能か？
• RQ5 輸送型結晶化モデルにおいて、弦長分布データから結晶サイズ分布を推定することは可能か？

主な発見

• 弱検出可能性仮定のもとで、Luenberger観測器は可観測部分空間への状態の射影に弱収束する。
• 追加のシステム固有の条件（例：散逸性、スペクトル的性質）を満たす場合、観測器は強い収束を達成する。
• 検出性が正確でない場合でも、Back and Forth Nudgingアルゴリズムは、考察された結晶化モデルにおいて初期状態を強い位相で効果的に再構築する。
• 理論的枠組みは、周期的境界条件を満たす1次元輸送方程式に適用され、バッチ結晶化プロセスをモデル化する。
• 本手法により、FBRM®システムで唯一利用可能なオンライン測定である弦長分布データから結晶サイズ分布を推定可能である。
• 解析により、システムは正確に可観測ではないことが確認され、本稿で提案された弱収束観測器フレームワークの必要性が裏付けられた。