[論文レビュー] Lusztig Correspondence and Howe Correspondence for Finite Reductive Dual Pairs

Shu-Yen Pan|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、奇数の標数をもつ有限体上の有限半単純双対ペア $(\mathrm{Sp}_{2n}, \mathrm{O}^\epsilon_{2n'})$ に対して、Lusztig対応とHowe対応の可換性（符号のひずみを除く）を確立する。半単純元による双対ペアの成分への分解と修正されたLusztig対応を用いることで、可約な特徴のHowe対応がLusztigの単純特徴のパラメトライゼーションを通じて明示的に記述可能であり、対応の完全な代数的特徴づけが得られる。

ABSTRACT

Let $(G,G')$ be a reductive dual pair of a symplectic group and an orthogonal group over a finite field of odd characteristic. The Howe correspondence establishes a correspondence between a subset of irreducible characters of $G$ and a subset of irreducible characters of $G'$. The Lusztig correspondence is a bijection between the Lusztig series indexed by the conjugacy class of a semisimple element $s$ in the connected component $(G^*)^0$ of the dual group of $G$ and the set of irreducible unipotent characters of the centralizer of $s$ in $G^*$. In this paper, we prove the commutativity (up to a twist of the sign character) between these two correspondences. As a consequence, the Howe correspondence can be explicitly described in terms of Lusztig's parametrization for classical groups.

研究の動機と目的

• 奇数の標数をもつ有限体上の有限半単純双対ペアに対して、Lusztig対応とHowe対応の正確な関係を確立すること。
• 古典的群に対して、Lusztigの単純特徴のパラメトライゼーションを用いてHowe対応を明示的に記述すること。
• Lusztig対応の曖昧性を解消するために、符号のひずみを伴うHowe対応と可換となるように修正されたバージョンを導入すること。
• 半単純元に基づく双対ペアの成分ごとの分解を用いた、Howe対応を計算する一様な枠組みを提供すること。

提案手法

• 双対ペア $(\mathrm{Sp}_{2n}, \mathrm{O}^\epsilon_{2n'})$ を半単純元 $s$ 及びその分解 $s = s^{(0)} \times s^{(1)} \times s^{(2)}$ に基づき、三つの成分 $G^{(0)}, G^{(1)}, G^{(2)}$ に分解する。
• 可約特徴 $\mathcal{E}(G)_s$ から $\mathcal{E}(G^{(0)} \times G^{(1)} \times G^{(2)})_1$ の単純特徴のテンソル積への写像である修正Lusztig対応 $\Xi_s$ を導入する。
• Weil特徴の均一射影を用い、命題2.5および式 (2.17) で定義される明示的記号パラメトライゼーションを通じて、Howe対応と単純特徴を関連付ける。
• 双対群における中心化子の理論とLusztig系列を用い、$\mathcal{E}(G)_s$ を $C_{G^*}(s)$ の単純特徴に結びつけることで、既知のパラメトライゼーションの利用を可能にする。
• 成分の比較により、Howe対応と修正Lusztig対応の整合性条件を確立する：$s^{(0)} = -s^{\prime(0)}$、$G^{(2)} \simeq G^{\prime(1)}$、$(\rho^{(1)}, \rho^{\prime(2)})$ が単純特徴のHowe対応に属する。
• 符号特徴 $\mathrm{sgn}$ を用い、Lusztig対応の非一意性を補い、$\Xi_{s^\prime}^{-1}$ の像における符号ひずみ付き成分の4通りの組み合わせが、対応が成立するための必要十分条件であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lusztig対応は、有限シンプレクティック・直交双対ペアにおいて、Howe対応とどのように作用するか？
• RQ2 Howe対応はLusztigの単純特徴のパラメトライゼーションを用いて完全に記述可能か？
• RQ3 双対ペアの成分とそれに対応する特徴との間の正確な関係は何か？
• RQ4 符号のひずみと成分への分解は、二つの対応の整合性にどのように影響するか？
• RQ5 Howe対応がLusztig系列の構造を保つのはどのような条件下か？

主な発見

• Theorem 6.10 により、Howe対応は符号のひずみを除きLusztig対応と可換であり、二つの写像の正確な整合性条件が明示される。
• Weil特徴 $\omega_{\mathbf{G},\mathbf{G}^\prime,1}$ の単純特徴部分は、$\mathcal{B}_{\mathbf{G},\mathbf{G}^\prime}$ 内の記号の対 $(\Lambda, \Lambda^\prime)$ における和として分解され、それぞれの項が単純特徴のテンソル積 $\rho_\Lambda \otimes \rho_{\Lambda^\prime}$ に対応する。
• $\rho \in \mathcal{E}(G)_s$ および $\rho^\prime \in \mathcal{E}(G^\prime)_{s^\prime, \epsilon^\prime}$ に対して、対 $(\rho, \rho^\prime)$ がHowe対応に現れるのは、$ s^{(0)} = -s^{\prime(0)} $、$ \rho^{(0)} = \rho^{\prime(0)} $、$ G^{(2)} \simeq G^{\prime(1)} $、$ \rho^{(2)} = \rho^{\prime(1)} $、$ (\rho^{(1)}, \rho^{\prime(2)}) $ が単純特徴のHowe対応に属し、かつ $ \epsilon_\rho = \epsilon^\prime $ のときである。
• Howe対応はLusztig系列の構造を保つ：$ \Theta^\psi_{\mathbf{G}}(\rho^\prime) \subset \mathcal{E}(G)_s $ および $ \Theta^\psi_{\mathbf{G}^\prime}(\rho) \subset \mathcal{E}(G^\prime)_{s^\prime, \epsilon^\prime} $ であり、特徴系列との整合性が保証される。
• 修正Lusztig対応 $\Xi_s$ を用いることで、一般のHowe対応を単純特徴の場合に成分ごとの還元が可能となり、記号パラメトライゼーションによる明示的計算が可能になる。
• 符号特徴 $\mathrm{sgn}$ はLusztig対応の曖昧性を補い、$\Xi_{s^\prime}^{-1}$ の像における符号ひずみ付き成分の4通りの組み合わせが、対応が成立するための必要十分条件である。