[論文レビュー] Lusztig's $a$-function for Coxeter groups with complete graphs

Nanhua Xi|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、完全なコックスター図を持つコックスター群（つまり、すべての単純反転が非可換）で、有限パラボリック部分群の濃度が一様に有界である場合、Lusztigの$a$-関数が有界であることを確立する。主な結果は、このような群が最小の二面体セルを持つことを示しており、$a$-関数の有界性は、最大の有限パラボリック部分群における最長元の長さによって与えられる。これは、アフィンワイル群や結晶学的群に対する既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

We show that Lusztig's $a$-function of a Coxeter group is bounded if the Coxeter group has a complete graph (i.e. any two vertices are joined) and the cardinalities of finite parabolic subgroups of the Coxeter group have a common upper bound.

研究の動機と目的

• 完全なコックスター図を持つコックスター群におけるLusztigの$a$-関数の有界性を調査すること。
• 有限パラボリック部分群における最長元の長さによって$a$-関数が有界になる条件を特定すること。
• このようなコックスター群に最小の二面体セルが存在することを確立すること。
• アフィンワイル群や結晶学的群に対する$a$-関数の有界性に関する既知の結果を、より広いクラスのコックスター群へ一般化すること。

提案手法

• ヘッケ代数における$Kazhdan$-$Lusztig$基底と構造定数$h_{w,u,v}$を用いて、$q^{1/2}$における次数を通じて$a$-関数を分析する。
• 等価性$f_{w,u,v} = f_{u,v^{-1},w^{-1}}$と多項式次数の上限を適用し、$a(v)$を構造定数の最大次数と関連付ける。
• ブラハット順序と有限パラボリック部分群における最長元の存在を活用して、$a(w)$の上限を導出する。
• Kazhdan-Lusztig多項式の正値性と特徴的な対合の構造を用いて、セル分解を分析する。
• 背理法と$LR$順序を用いたセル比較により、$a$-値が最大である要素が最小の二面体セルに属することを示す。
• [KL]および[L3]におけるセル同値性と$ ilde{T}_w$乗算に関する結果を応用して、$a(v)$の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なコックスター図を持つコックスター群において、Lusztigの$a$-関数が有界になる条件は何か？
• RQ2 このような群において、$a$-関数が有限パラボリック部分群における最長元の長さによって有界になるか？
• RQ3 有界な$a$-関数の存在は、群に最小の二面体セルが存在することを示唆するか？
• RQ4 ランク2の有限パラボリック部分群の構造が、完全なコックスター群における二面体セルの数にどのように影響するか？
• RQ5 完全なグラフを持つ結晶学的コックスター群における二面体セルの数は、$|O| + 2$に等しいか？ここで$|O|$はランク2の有限パラボリック部分群の同型類の数である。

主な発見

• 完全なコックスター図と一様に有界な有限パラボリック部分群をもつ任意のコックスター群において、$a$-関数は有界である。
• $a$-関数の最大値は、最大の有限パラボリック部分群における最長元の長さに等しい。
• 群は最小の二面体セルをもち、これはすべての$a(w)$が最大であるような要素$w$を含む。
• 完全なグラフを持つ結晶学的コックスター群では、二面体セルの数は$|O| + 2$に等しく、ここで$|O|$はランク2の有限パラボリック部分群の同型類の数である。
• 完全なグラフを持つランク3のコックスター群では、$a$-関数は有界であり、二面体セルは正確に3つ存在する：$\{e\}$、一意な短縮表現を持つ要素、複数の短縮表現を持つ要素。
• $a$-関数は任意の有限パラボリック部分群における最長元の長さによって有界であり、その上限は部分群が最大である場合に達成される。