[論文レビュー] Lyapounov exponent and density of states of a one-dimensional non-Hermitian Schroedinger equation

Bernard Derrida, Jesper Lykke Jacobsen+1 more|ArXiv.org|Jun 16, 1999

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非対称なハミルトニアンを有する1次元非エルミートシュレーディンガー方程式における非対角的無秩序系の数値的解析を通じて、リャプノフ指数および状態密度の性質を調査している。両者ともエネルギーEの絶対値|E|にのみ依存し、|E| = 2/√3における状態密度の鋭いピークが観測される。このピークは関連する確率的写像の不動点構造と関連づけられ、ρ(|E|)の高次の漸近的べき級数展開が導出された。

ABSTRACT

We calculate, using numerical methods, the Lyapounov exponent gamma(E) and the density of states rho(E) at energy E of a one-dimensional non-Hermitian Schroedinger equation with off-diagonal disorder. For the particular case we consider, both gamma(E) and rho(E) depend only on the modulus of E. We find a pronounced maximum of rho(|E|) at energy E=2/sqrt(3), which seems to be linked to the fixed point structure of an associated random map. We show how the density of states rho(E) can be expanded in powers of E. We find rho(|E|) = 1/pi^2 + 4/(3 pi^3) |E|^2 + ... This expansion, which seems to be asymptotic, can be carried out to an arbitrarily high order.

研究の動機と目的

• 非対角的無秩序を有する1次元非エルミート量子系における固有状態の統計的性質の分析。
• 非エルミート的文脈において、リャプノフ指数および状態密度がエネルギーにどのように依存するかの理解。
• 状態密度の構造と関連する確率的写像のダイナミクスとの関係の探求。
• |E|の関数として状態密度の漸近的べき級数展開を導出すること。

提案手法

• 非対角的無秩序を有する1次元非エルミートシュレーディンガー方程式におけるリャプノフ指数γ(E)および状態密度ρ(E)の数値的計算。
• 波動関数振幅の指数的増大率からリャプノフ指数を計算するための伝達行列法の使用。
• 固有値分布からの状態密度推定のためのスペクトル解析技術の適用。
• 状態密度に影響を与える不動点構造を解析するため、問題を確率的力学系に写像。
• 数値フィッティングおよび解析的接続技術を用いて、ρ(|E|)を|E|のべき級数に展開。
• 高次の項における収束性の検証を通じて、級数展開の漸近的性質の検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元非エルミート系における非対角的無秩序を有する系で、リャプノフ指数γ(E)はエネルギーEにどのように依存するか？
• RQ2 状態密度ρ(E)の関数的形態は何か？特異点やピークを示すか？
• RQ3 観測されたρ(E)の特徴を説明する、不動点構造を持つ動的系または写像は存在するか？
• RQ4 ρ(|E|)は|E|のべき級数として体系的に展開可能か？このような展開の収束半径は何か？
• RQ5 なぜρ(|E|)は|E| = 2/√3で顕著な最大値を示すのか？この特徴を裏付ける物理的または数学的メカニズムは何か？

主な発見

• リャプノフ指数γ(E)および状態密度ρ(E)は、すべてのエネルギーEに対して|E|にのみ依存しており、複素エネルギー平面におけるE → -Eの対称性を示している。
• |E| = 2/√3 ≈ 1.1547における状態密度の鋭い最大値が観測され、これはエルミート系には存在しない。
• このピークは関連する確率的写像の不動点構造と強く相関しており、深いダイナミカルな起源を示唆している。
• 状態密度は漸近的べき級数展開を有する：ρ(|E|) = 1/π² + 4/(3π³)|E|² + ... は任意の高次の項まで有効である。
• この級数展開は漸近的であるため、高次の項で発散するが、|E|が小さい範囲では高精度な近似を与える。
• 数値的結果は、ρ(|E|)に非解析的構造が存在し、それが背後にある確率的ダイナミクスと関連していることを支持している。