[論文レビュー] Lyapunov and Sylvester equations: A quadrature framework

Christian Bertram, Heike Faßbender|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2019

Matrix Theory and Algorithms参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、大規模なリャプノフ方程式およびシルベスタ方程式を解くための新しい数値積分フレームワークを提案する。構造保存型ルンゲ・クッタ法を関連する常微分方程式系に適用することで、対角的陰的ルンゲ・クッタ（DIRK）スキームによる低ランク残差保存を活用し、交替方向陰的（ADI）反復と同等の収束性を達成する。複素数演算を実数演算に変換するリアライゼーション戦略を用いることで、効率的な低ランク近似が可能となる。

ABSTRACT

This paper introduces a novel framework for the solution of (large-scale) Lyapunov and Sylvester equations derived from numerical integration methods. Suitable systems of ordinary differential equations are introduced. Low-rank approximations of their solutions are produced by Runge-Kutta methods. Appropriate Runge-Kutta methods are identified following the idea of geometric numerical integration to preserve a geometric property, namely a low rank residual. For both types of equations we prove the equivalence of one particular instance of the resulting algorithm to the well known ADI iteration. As the general approach suggested here leads to complex valued computation even for real problems, we present a general realification approach based on similarity transformation.

研究の動機と目的

• 大規模リャプノフ方程式およびシルベスタ方程式を、常微分方程式の数値積分を用いて解くための新しい数値フレームワークを開発すること。
• 幾何的数値積分の原則に従い、反復的解法の各ステップで残差の低ランク構造を保存すること。
• 提案されたルンゲ・クッタに基づくアルゴリズムと、リャプノフ方程式およびシルベスタ方程式の古典的AD I反復との等価性を確立すること。
• 複素数演算を実数演算に変換する類似変換に基づくリアライゼーション技術を提供すること、これにより実数問題における複素数演算の実装を可能にする。

提案手法

• リャプノフ方程式の解法は、時間依存グラミアンの積分として再定式化され、常微分方程式系の解として解釈される。
• 常微分方程式系にルンゲ・クッタ法を適用し、解の低ランク近似を生成する。安定性関数はバーサー表に基づいて導出される。
• 初期残差の低ランク性を保つために、安定性関数が特定の関数的恒等式を満たす必要があると制約を課す。
• シルベスタ方程式の場合、同様の常微分方程式系が導出され、同じルンゲ・クッタアプローチが適用され、低ランク反復スキームが得られる。
• フレームワークは、DIRK法が低ランク残差を保存することを特定し、これによりAD I反復と同等の結果が得られることを示す。
• 複素数演算を実数演算に変換するための類似変換に基づくリアライゼーション戦略が導入され、実数問題における複素数ルンゲ・クッタ反復の実装が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 常微分方程式の積分に基づく積分フレームワークを用いて、リャプノフ方程式およびシルベスタ方程式のための低ランク反復解法を導出できるか？
• RQ2 どのクラスのルンゲ・クッタ法が、解法プロセス中に残差の低ランク構造を保存するか？
• RQ3 得られたアルゴリズムは、リャプノフ方程式およびシルベスタ方程式の両方において、よく知られたAD I反復と同等か？
• RQ4 本手法で生じる複素数演算を、実装の観点から実数演算に変換する方法は何か？
• RQ5 ルンゲ・クッタ法の安定性関数と有理的クリロフ部分空間フレームワークとの関係は何か？

主な発見

• DIRK法を用いる場合、提案されたリャプノフ方程式用のルンゲ・クッタベースのアルゴリズムは、数学的にAD I反復と同等である。
• 構造的に低ランク残差を保つことで、反復の各ステップで計算の効率性が保証される。
• シルベスタ方程式の場合、同じフレームワークにより、アルゴリズムがシルベスタ方程式用AD I変種と同等となることが示された（図4参照）。
• 安定性関数が特定の関数的恒等式を満たす必要があることが、低ランク残差を保存するための条件であり、有効な手法のクラスを特徴づける。
• 類似変換に基づくリアライゼーションアプローチにより、複素数演算手法を実数問題に適用しても、精度や効率に損なわれることなく利用可能となる。
• 本フレームワークは、常微分方程式の積分から出発し、AD I型手法の統一的導出を可能にし、幾何的数値積分と有理的クリロフ部分空間、モーメントマッチングの手法を結びつける。