[論文レビュー] Lyapunov Approach to Consensus Problems

Angelia Nedich, Ji Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2014

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、根付きの有向スパニングツリーにおける最短経路の最大長に依存する指数的収束レートを確立する、重み付き平均化ダイナミクスのリャプノフに基づく収束解析を展開する。従来の結果を拡張し、二重確率的重みを必要としない制約付きコンセンサスに対しても指数的収束を証明する。アドジョイントダイナミクスと二次的リャプノフ関数を用いる。

ABSTRACT

This paper investigates the weighted-averaging dynamic for unconstrained and constrained consensus problems. Through the use of a suitably defined adjoint dynamic, quadratic Lyapunov comparison functions are constructed to analyze the behavior of weighted-averaging dynamic. As a result, new convergence rate results are obtained that capture the graph structure in a novel way. In particular, the exponential convergence rate is established for unconstrained consensus with the exponent of the order of $1-O(1/(m\log_2m))$. Also, the exponential convergence rate is established for constrained consensus, which extends the existing results limited to the use of doubly stochastic weight matrices.

研究の動機と目的

• リャプノフフレームワークを用いて、分散コンセンサス問題における重み付き平均化ダイナミクスの収束速度を分析すること。
• 従来の収束結果を、二重確率的重み行列を要件としない制約付きコンセンサス問題へ拡張すること。
• 通信グラフの構造、特に根付きスパニングツリーにおける最短経路の最大長を、収束速度の上限に組み込むこと。
• 一般の重み行列と根付き有向スパニングツリーを前提とした場合に、非制約および制約付きコンセンサスの両方で指数的収束を確立すること。
• 非二重確率的設定において、アドジョイントダイナミクスと絶対確率列を用いた、新たなリャプノフ比較関数の構築を考案すること。

提案手法

• コンセンサスシステムのアドジョイントダイナミクスに基づいて、二次的リャプノフ比較関数を構築する。
• 確率的グラフに関する先行研究における絶対確率列の概念を用いて、収束行動を分析する。
• ホフマンの不等式を適用して制約集合の正則性を確立し、多面体的または内部点条件の下で収束速度の解析を可能にする。
• 凸集合の共通部分に収束するよう保証する、射影に基づく重み付き平均化アルゴリズムを導入する。
• リャプノフ関数の減衰とグラフの構造的性質（特に最短経路の最大長）との関係を関係づけ、収束速度を導出する。
• リャプノフ関数とコンセンサス集合への距離の間の比較論法を用い、制約集合の一様正則性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ構造を捉えるリャプノフアプローチを用いて、非制約コンセンサスにおける指数的収束レートを確立できるか？
• RQ2 重み行列が二重確率的でない場合、制約付きコンセンサスの収束をどのように分析できるか？
• RQ3 一般の重み行列に対して収束を保証する根付き有向スパニングツリーの存在が果たす役割は何か？
• RQ4 通信グラフにおける最短経路の最大長を用いて、収束速度を定量的に評価できるか？
• RQ5 制約集合にどのような条件下で、収束のための正則性条件が成立するか？

主な発見

• 特殊な木構造の正則グラフにおいて、非制約コンセンサスの指数的収束レートが、$1 - O(1/(m\log_2 m))$ のオーダーで確立された。
• 制約付きコンセンサスにおいて、二重確率的重みを要件としない指数的収束が証明され、従来の二重確率的行列に限った結果を拡張した。
• 収束速度は根付きスパニングツリーにおける最短経路の最大長に依存し、グラフ構造と収束速度の間の新しい関係を確立した。
• 制約集合が多面体的である場合、一様に正則であるため、収束速度解析に必要な正則性条件を満たす。
• 制約集合の共通部分に内点が存在する場合、その内点球の半径に依存する定数で、正則性条件が局所的に成立する。
• 時間変動するグラフに対しても、常に根付きである必要はなく、一定期間内に根付きであれば適用可能であり、実世界のネットワークへの応用範囲を広げた。