[論文レビュー] Lyapunov characterization of uniform exponential stability for nonlinear infinite-dimensional systems

Ihab Haidar, Yacine Chitour+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 42被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、外部の摂動を受ける非線形無限次元系における一様指数的安定性について、逆リャプノフ定理を確立する。一般化されたDatko補題を前進完全系へと拡張することで、一様指数的安定性が、特定の減衰条件を満たす非強制的または強制的なリャプノフ汎関数の存在と同値であることを証明し、遅延系、サンプリングデータ制御、スイッチング系の安定性解析に、厳密な理論的保証を提供する。

ABSTRACT

In this paper we deal with infinite-dimensional nonlinear forward complete dynamical systems which are subject to external disturbances. We first extend the well-known Datko lemma to the framework of the considered class of systems. Thanks to this generalization, we provide characterizations of the uniform (with respect to disturbances) local, semi-global, and global exponential stability, through the existence of coercive and non-coercive Lyapunov functionals. The importance of the obtained results is underlined through some applications concerning 1) exponential stability of nonlinear retarded systems with piecewise constant delays, 2) exponential stability preservation under sampling for semilinear control switching systems, and 3) the link between input-to-state stability and exponential stability of semilinear switching systems.

研究の動機と目的

• 古典的Datko補題を外部摂動を受ける非線形かつ前進完全な無限次元力学系へと拡張すること。
• 強制的および非強制的リャプノフ汎関数を用いて、一様指数的安定性（局所的、半グローバル的、グローバル的）を特徴付けること。
• 時間遅れ、サンプリングデータ制御、スイッチングダイナミクスを伴う系における安定性解析の理論的基盤を提供すること。
• 半線形スイッチング系において、入力-状態安定性と指数的安定性の間のギャップを埋めること。
• 軌道の均一な成長見積もりが与えられた場合、非強制的リャプノフ汎関数が一様指数的安定性を十分に満たす条件を確立すること。

提案手法

• 外部摂動を受ける無限次元、前進完全、非線形力学系へと古典的Datko補題を一般化する。
• 状態空間 X から ℝ₊ へのリャプノフ汎関数 V: X → ℝ₊ を定義し、正定値かつ軌道に沿って一様に減衰することを満たす。
• 1パラメータ族のリャプノフ汎関数を用いて、一様半グローバル指数的安定性を特徴付ける。
• 解の均一な成長条件の下で、一様指数的安定性と非強制的リャプノフ汎関数の存在との同値性を確立する。
• 一般化されたDatko補題を用いて、非強制的汎関数の減衰が一様指数的安定性を示すことを証明する。
• Gronwallの不等式および定数変化公式を用いて、サンプリングデータ系およびスイッチング系における軌道のずれを推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元非線形系の一様指数的安定性が、非強制的リャプノフ汎関数の存在と同値となる条件は何か？
• RQ2 古典的Datko補題を非線形的、無限次元的、前進完全な系に摂動を含めて拡張できるか？
• RQ3 リャプノフ汎関数を用いて、半線形スイッチング系におけるサンプリング下でも指数的安定性を保てるか？
• RQ4 半線形スイッチング系において、入力-状態安定性と指数的安定性の関係は何か？
• RQ5 均一な成長バウンドが与えられた場合、非強制的リャプノフ汎関数の存在がグローバル指数的安定性を示唆できるか？

主な発見

• 一様半グローバル指数的安定性は、有界集合上で一様に減衰する1パラメータ族のリャプノフ汎関数の存在によって特徴付けられ、これらの集合の和集合が全状態空間をカバーする。
• 非強制的リャプノフ汎関数の存在に加え、解の均一な成長見積もりがあれば、一様指数的安定性が保証される。
• 区分的定数遅れを伴う非線形遅延関数微分方程式では、一様グローバル指数的安定性が非強制的リャプノフ汎関数の存在と同値である。
• 十分に小さなサンプリング周期のもとで、半線形制御スイッチング系において指数的安定性はサンプリング下でも保たれる。ただし、適切なリャプノフ汎関数が存在する必要がある。
• 強制的リャプノフ汎関数が存在するための必要十分条件は、系が一様指数的に安定であることである。これは、以前の結果を指数的ケースに拡張したものである。
• p ∈ [1, ∞) に対して、状態軌道の Lp 範囲は、入力の Lp 範囲の定数倍で抑えられ、そのバウンドはリャプノフ汎関数のリプシッツ定数と系のパラメータに依存する。