[論文レビュー] Lyapunov coefficients for Hopf bifurcations in systems with piecewise smooth nonlinearity

Miriam Steinherr Zazo, Jens D. M. Rademacher|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ u_i|u_j| $ の形をとる区分的滑らかでない非線形項を有する非滑らか力学系における、最初のリャプノフ係数の明示的公式を導出する。これは古典的ホップ分岐理論を一般化するものであり、平均化理論を用いて平面系の正規形を確立し、分岐点において一意的な周期的軌道分岐が存在することを証明する。非滑らか性にもかかわらず、係数 $ \sigma\# $ が上昇的または下降的分岐を決定づける。この理論は、船の操舵運動やシャミングホイールのモデルなどに応用可能である。

ABSTRACT

Motivated by models that arise in controlled ship maneuvering, we analyze Hopf bifurcations in systems with piecewise smooth nonlinear part. In particular, we derive explicit formulas for the generalization of the first Lyapunov coefficient to this setting. This generically determines the direction of branching (super- versus sub-criticality), but in general this differs from any fixed smoothing of the vector field. We focus on nonsmooth nonlinearities of the form $u_i|u_j|$, but our results are formulated in broader generality for systems in any dimension with piecewise smooth nonlinear part. In addition, we discuss some codimension-one degeneracies and apply the results to a model of a shimmying wheel.

研究の動機と目的

• 機械的および制御系に現れる、特に $ u_i|u_j| $ の形をとる区分的滑らかでない非線形項を有する系に対して、古典的最初のリャプノフ係数を一般化すること。
• 滑らかでない系において、標準的な公式が不成立となる状況下で、ホップ分岐の方向（上昇的または下降的）を特定すること。
• リプシッツ連続で区分的滑らかな非線形項を有する平面系および高次元系の正規形理論を構築すること。
• 特異性のコディメンション1の退化（例：$ \sigma\# = 0 $）を分析し、追加の非双曲的モードを有する系へも結果を拡張すること。
• シャミングホイールの具体的なモデルに理論を適用し、数値的続行法による結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 線形部が $ A(\mu)u $ で、スイッチング面を除いてリプシッツ連続かつ $ C^2 $ である区分的滑らかな非線形項 $ G(u) $ を有する一般の $ n $ 次元 ODE 系を定式化する。
• 周期的境界値問題にリャプノフ＝シュミット縮約を適用し、縮約された分岐方程式（「直接法」として呼ばれる）を導出する。
• 平均化理論を用いて、$ p_+ = -p_- = 1 $ の平面系に対して、コンactな正規形を導出し、$ \sigma\# $ および第二のリャプノフ係数 $ \sigma_2 $ の明示的表現を得る。
• システムパラメータおよび $ [0, 2\pi] $ 上の積分を用いて最初のリャプノフ係数 $ \sigma\# $ の積分公式を導出し、三角関数の対称性とテイラー展開を用いて明示的に評価する。
• 3つの虚数固有値（1つのゼロ、1組の複素共役固有値）を持つ場合を検討し、ある係数の組み合わせが非ゼロであれば、周期的軌道が2本分岐するか、さもなければ周期的軌道は出現しないことを証明する。
• ベクトル場のテイラー展開から得られるODEを用いて、係数 $ \gamma_{ij}, \delta_{ij} $ の詳細な記号的計算を実行し、分岐点近傍での $ \mu $ に関する漸近的展開を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項が2回微分可能でない場合に、$ u_i|u_j| $ の形をとる区分的滑らかでない非線形項を有する系に対して、最初のリャプノフ係数をどのように一般化できるか？
• RQ2 標準的な滑らかでない分岐理論が適用できない非滑らか系において、ホップ分岐の方向（上昇的または下降的）を決定づける要因は何か？
• RQ3 $ \sigma\# = 0 $ の場合に、滑らかな二次および三次項が、分岐の臨界性を決定づける非滑らか項とどのように相互作用するか？
• RQ4 線形化が三重虚数固有値構造（1つのゼロ、1組の複素共役固有値）を有する場合、分岐構造はどのように変化するか？また、分岐する周期的軌道の数にどのような影響を与えるか？
• RQ5 明示的かつ計算可能な係数を有する、区分的滑らかでない非線形項を有する平面系の正規形を導出することは可能か？

主な発見

• 最初のリャプノフ係数 $ \sigma\# $ は $ \sigma\# = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \chi_2(\phi) \, d\phi $ として導出され、明示的評価により $ \int_0^{2\pi} \chi_2(\phi) \, d\phi = \frac{4}{3} \sigma\# $ が得られる。ここで $ \chi_2 $ は滑らかでない項を含む組み合わせ項である。
• 平面系で $ p_+ = -p_- = 1 $ の場合、最初のリャプノフ係数は $ \sigma\# = \frac{1}{3} (a_{11} + b_{22}) + \frac{1}{6} (a_{21} + b_{12}) $ で与えられ、$ a_{ij}, b_{ij} $ は非線形項 $ f, g $ から得られる。$ \sigma\# $ の符号が分岐の方向を決定づける。
• $ \sigma\# = 0 $ の場合、第二のリャプノフ係数 $ \sigma_2 $ が臨界的となり、$ \sigma_2 = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \chi_3(\phi) \, d\phi - \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \chi_2(\phi) \Omega_1(\phi) \, d\phi $ で与えられる。ここで $ \Omega_1 $ は非滑らか部分から生じる。
• 3つの虚数固有値（1つのゼロ、1組の複素共役固有値）を持つ場合、ある係数の組み合わせが非ゼロであれば、2本の周期的軌道分岐が生じるが、そうでなければ周期的軌道は出現しない。
• 平均化理論を用いて平面系の正規形が導出され、半径成分のコンactな表現が得られる：$ \dot{u} = \mu u + \sigma\# u|u| $。ここで $ \sigma\# $ はシステムパラメータから明示的に計算可能である。
• モデル (1.5)–(1.6) の数値的続行により理論的予測が確認された：$ \sigma\# > 0 $ では下降的分岐（不安定な周期的軌道）、$ \sigma\# < 0 $ では上昇的分岐（安定な周期的軌道）が得られ、図2の理論的分岐図と一致する。