[論文レビュー] Lyapunov dimension formula of attractors in the Tigan and Yang systems

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Chaos control and synchronization参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、TiganとYang系の吸引子のリャプノフ次元に対する正確な公式を、新規のリャプノフ関数に基づくアプローチを用いて導出している。特定の行列変換とスカラー関数を構築することで、リャプノフ次元を正確に計算可能なパラメータ領域を拡張し、古典的なカオス的パラメータにおいて、次のように次元が等しくなることを証明している：$ 3 - \frac{2(\sigma + b)}{\sigma + \sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $。これは、自己励起吸引子の正確な次元性を確認するものである。

ABSTRACT

In latter days the technique of attractors dimension estimate of Lorenz type systems is actively developed. In this work the Lyapunov dimension of attractors of the Tigan and Yang systems is estimated.

研究の動機と目的

• YangおよびTigan系における吸引子のリャプノフ次元を厳密に推定可能なパラメータ領域を拡張すること。
• 特定の条件下で、これらの系における不変コンact集合のリャプノフ次元に対する正確な公式を導出すること。
• 古典的カオス的パラメータにおける正確な次元公式の妥当性を検証し、YangおよびTigan系における自己励起吸引子の次元を確認すること。
• 有界解が平衡点に収束する条件を確立し、これによりリャプノフ次元がゼロになることと、カオス的吸引子が存在する条件を特定すること。

提案手法

• 著者らは、リャプノフ次元理論における定理2を適用し、行列 $ S $ とスカラー関数 $ \vartheta $ を用いて、リャプノフ関数を構築し、リャプノフ指数の和の上界を評価する。
• 特定の行列 $ S = \begin{pmatrix} -\rho^{-1} & 0 & 0 \\ -\frac{b}{\sigma} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ を用いて、系を変換し、ヤコビ行列の対称部の固有値を解析する。
• リャプノフ関数 $ \vartheta $ は、$ \vartheta = \frac{(1-s)V}{\sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $ として定義され、ここで $ V $ は係数 $ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4 $ を持つ二次形式である。
• 方法としては、方程式 (10) を解き、臨界根 $ \gamma^{(II)} > \gamma^{(I)} $ を得ることで、カオス的挙動のための正の根の存在を保証する。
• 不等式 (9) からの上界と原点におけるリャプノフ次元を比較することで、条件 (11) を満たす場合に等しくなることから、正確なリャプノフ次元が導出される。
• Tigan系はスケーリングによりYang系に変換可能であり、これにより結果をT系に直接適用可能となり、パラメータ $ \sigma = a, r = c - a, b = b $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Yang系吸引子のリャプノフ次元が正確に計算可能なパラメータ条件は何か？
• RQ2 従来の結果を超えて、リャプノフ次元推定が成立するパラメータ領域をどのように拡張できるか？
• RQ3 Yang系の有界解が平衡点に収束する条件は何か？ これはリャプノフ次元がゼロであることを示唆する。
• RQ4 YangおよびTigan系の古典的カオス的パラメータにおいて、リャプノフ次元公式は一貫的かつ正確な値を返すか？
• RQ5 リャプノフ次元公式は、TiganおよびYang系における自己励起吸引子に適用可能か？

主な発見

• 古典的Yang系パラメータ $ \sigma = 10, b = \frac{8}{3}, r = 16 $ に対して、リャプノフ次元は正確に $ 3 - \frac{2(\sigma + b)}{\sigma + \sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $ に等しく、条件 (11) を満たす。
• $ \sigma = 35, b = 3, r = 35 $ の場合、条件 (11) が満たされ、$ 1225 > 114 $ であり、方程式 (10) のより大きな根が正である。
• Tigan系において $ a = 2.1, b = 0.6, c = 30 $ のとき、変換後のパラメータ $ \sigma = 2.1, r = 27.9 $ はすべての条件を満たし、リャプノフ次元は約 2.692345984 となる。
• すべての古典的カオス的パラメータにおいて、方程式 (10) のより大きな根 $ \gamma^{(II)} $ は正であり、正確な次元公式の適用可能性が確認される。
• 条件 (11) が満たされる場合、原点を含む任意の有界不変集合 $ K $ のリャプノフ次元は正確に $ 3 - \frac{2(\sigma + b)}{\sigma + \sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $ に等しい。
• $ r < 0 $ または $ r = 0 $ で特定の不等式が成り立つ場合、すべての有界解は平衡点に収束し、$ \dim_L K = 0 $ となる。これは、ゼロ次元の場合のリャプノフ次元公式と整合的である。