[論文レビュー] Lyapunov exponent for inertial particles in the 2D Kraichnan model as a problem of Anderson localization with complex valued potential

Péter Horvai|ArXiv.org|Nov 14, 2005

Particle Dynamics in Fluid Flows参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2次元乱流場における慣性粒子対の分離と、複素数のポテンシャルを伴うアンドリュー局在問題との間で、新しい関係を確立する。相対的粒子分離の力学を複素ポテンシャルを伴うシュレーディンガー型方程式に写像することで、可解な場合にリャプノフ指数の正確な式を導出し、大スティークス数においてリャプノフ指数が $\mathrm{St}^{-2/3}$ のように減少することを解析的に示した。これにより、乱流中の粒子凝集を理解するための厳密な基礎が得られた。

ABSTRACT

We exploit the analogy between dynamics of inertial particle pair separation in a random-in-time flow and the Anderson model of a quantum particle on the line in a spatially random real-valued potential. Thereby we get an exact formula for the Lyapunov exponent of pair separation in a special case, and we are able to generalize the class of solvable models slightly, for potentials that are real up to a global complex multiplier. A further important result for inertial particle behavior, supported by analytical computations in some cases and by numerics more generally, is that of the decay of the Lyapunov exponent with large Stokes number (quotient of particle relaxation and flow turn-over time-scales) as Stokes number to the power -2/3.

研究の動機と目的

• 2次元のランダムな流れにおける慣性粒子対の分離と、複素数のポテンシャルを伴うアンドリュー局在問題との間の数学的類似性を確立すること。
• 一般化されたアンドリュー・モデルの特定の可解な場合におけるリャプノフ指数の正確な解析的表現を導出すること。
• 大スティークス数におけるリャプノフ指数の漸近的挙動、特に $\mathrm{St}$ とのスケーリングを調査すること。
• 数値的観測を支持する理論的枠組みを提供し、ピテルバールの式のような先行研究における不正確さを是正すること。
• 今後の乱流中の慣性粒子力学に関する研究のための包括的かつ自己完結的な参考文献を提供すること。

提案手法

• 慣性粒子対の分離の力学を、線形化された速度場に基づく2次元の確率微分方程式（SDE）に還元する。
• SDE を複素数のポテンシャルを伴うシュレーディンガー型方程式に変換することで、量子力学的アンドリュー局在の手法を適用可能にする。
• ポテンシャルが全般的な複素乗数を除いて実数であるように、古典的アンドリュー・モデルを一般化し、解析的に解ける系のクラスを拡張する。
• 伊藤の計算を用いて、相対的分離の二乗 $|\vec{r}|^2$ のモーメント階層を導出し、$\vec{\psi}$ および $\dot{\vec{\psi}}$ のモーメントを記述する線形常微分方程式の閉じた系を得る。
• リャプノフ指数は、モーメントの進化を支配する行列の最大固有値として抽出され、数値的および解析的な計算が可能になる。
• 時間積分による $\mathrm{d} \log r^2$ の推定値を用いた数値シミュレーションを実施し、正の偶数次モーメントからの外挿を用いて剛性を緩和する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元クライチナン流れにおける慣性粒子対の分離のリャプノフ指数は、複素数ポテンシャルを伴うアンドリュー局在の手法を用いて正確に計算可能か？
• RQ2 大スティークス数におけるリャプノフ指数の漸近的スケーリングは何か？また、普遍的なべき則に従うか？
• RQ3 複素数のポテンシャルを含めることで、アンドリュー局在フレームワークにおける解析的に解けるモデルのクラスはどの程度拡張されるか？
• RQ4 数値的シミュレーションは、解析的予測、特に $\mathrm{St}^{-2/3}$ の減少則をどの程度確認するか？
• RQ5 2次元におけるピテルバールのリャプノフ指数の式はなぜ数値結果と一致しないのか？また、どのように是正できるか？

主な発見

• 2次元クライチナンモデルにおける慣性粒子対の分離のリャプノフ指数は、複素数ポテンシャルを伴うアンドリュー局在モデルに問題を写像することで、特定の状況で正確に計算可能である。
• ポテンシャルが全般的な複素乗数を除いて実数であるという条件の下で、一般化された可解なアンドリュー・モデルのクラスを導出し、標準的な実数ポテンシャルのケースを越えて拡張した。
• 大 $\mathrm{St}$ において、リャプノフ指数はスティークス数 $\mathrm{St}$ に対して $\mathrm{St}^{-2/3}$ のように減少する。この結果は、特定の状況で解析的に確認され、一般には数値的にも確認された。
• モーメントに基づく外挿と剛性緩和技術を用いた数値的シミュレーションにより、$\mathrm{St}^{-2/3}$ スケーリングが妥当であることが裏付けられ、ピテルバールの式との乖離も明らかになった。
• $|\vec{\psi}|^{2N}$ のモーメント階層は閉じており線形であるため、リャプノフ指数は定数係数行列の最大固有値として抽出可能である。
• 2次元におけるモーメントの系は、$c^n_{k,l} = \langle \psi^k \dot{\psi}^{n-k} \bar{\psi}^l \dot{\bar{\psi}}^{n-l} \rangle$ の形に簡略化され、相対的分離の成長率の解析的および数値的解析が可能になる。