[論文レビュー] Lyapunov exponent, universality and phase transition for products of random matrices

Dang-Zheng Liu, Dong Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 57被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、行列サイズ $N$ と行列数 $M$ が $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ の下でともに無限大に近づく際、i.i.d. 複素ガウス確率行列の積における特異値の統計的挙動を調査する。局所統計には相転移が生じ、$\gamma = 0$ ではGUE Tracy-Widomのゆらぎ、有限の $\gamma$ では新たな臨界核、$\gamma = \infty$ ではガウスゆらぎに至る。最大特異値の分布は、GUEからガウスへのTracy-Widom分布への遷移を経る。

ABSTRACT

Products of $M$ i.i.d. random matrices of size $N imes N$ are related to classical limit theorems in probability theory ($N=1$ and large $M$), to Lyapunov exponents in dynamical systems (finite $N$ and large $M$), and to universality in random matrix theory (finite $M$ and large $N$). Under the two different limits of $M o \infty$ and $N o \infty$, the local singular value statistics display Gaussian and random matrix theory universality, respectively. However, it is unclear what happens if both $M$ and $N$ go to infinity. This problem, proposed by Akemann, Burda, Kieburg \cite{Akemann-Burda-Kieburg14} and Deift \cite{Deift17}, lies at the heart of understanding both kinds of universal limits. In the case of complex Gaussian random matrices, we prove that there exists a crossover phenomenon as the relative ratio of $M$ and $N$ changes from $0$ to $\infty$: sine and Airy kernels from the Gaussian Unitary Ensemble (GUE) when $M/N o 0$, Gaussian fluctuation when $M/N o \infty$, and new critical phenomena when $M/N o γ\in (0,\infty)$. Accordingly, we further prove that the largest singular value undergoes a phase transition between the Gaussian and GUE Tracy-Widom distributions.

研究の動機と目的

• i.i.d. 確率行列の積における $M,N \to \infty$ の同時極限 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ の未解決問題を解明すること。
• リャプノフ指数の統計（大きな $M$、固定された $N$）とランダム行列理論（大きな $N$、固定された $M$）の2つの普遍的領域間のクロスオーバーを理解すること。
• 有限な $\gamma = M/N$ における臨界スケーリング領域を特定し、関連する普遍核および分布を特徴づけること。
• $\gamma$ の増加に伴い、最大特異値の分布がGUE Tracy-Widomからガウス Tracy-Widomへの相転移が起こることを証明すること。

提案手法

• 直交多項式技法とFredholm行列式表現を用いた、複素ガウス行列の積の特異値相関核の解析的考察。
• Steepest descent法と積分表現を用いた、$N,M \to \infty$ かつ $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ の二重スケーリング極限における核の漸近的解析。
• 軟端スケーリング極限において、正弦核とエアリー核の間を補間する新しい臨界核 $K_{\text{crit}}(\xi,\eta;\gamma)$ の導出。
• ガンマ関数およびディグマ関数の展開を用いて、Fredholm行列式における対数項を制御し、臨界スケーリングを導出。
• 二重閉路積分表現の相関核に対してSteepest descent法を適用し、$\mathcal{O}(N^{1/4})$ の領域に集中することを示す。
• 共同極限下での相関核が臨界核 $K_{\text{crit}}$ に収束することを確立し、$\mathcal{O}(N^{-1/4})$ のオーダーの誤差境界を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. 複素ガウス確率行列の積において、$M,N \to \infty$ かつ $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ の同時極限下でどのような普遍的統計が現れるか？
• RQ2 $\gamma$ が $0$ から $\infty$ に増加するに従い、局所的特異値統計がGUEからガウス普遍性へどのように遷移するか？
• RQ3 有限な $\gamma$ における臨界統計の性質は何か？ そして、それは新たな普遍核で記述可能か？
• RQ4 最大特異値は、GUEとガウスのTracy-Widom分布の間で相転移を経るか？
• RQ5 臨界分布関数 $F_{\text{crit}}(x;\gamma)$ は、Painlev\'e型方程式で表現可能か？

主な発見

• $M/N \to 0$ のとき、局所的特異値統計はGaussian Unitary Ensemble (GUE) の正弦核に収束し、GUE普遍性を示す。
• $M/N \to \infty$ のとき、局所的統計はガウスゆらぎに収束し、古典的中心極限定理の領域に対応する。
• $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ のとき、正弦核とエアリー核の間を補間する新たな臨界核 $K_{\text{crit}}(\xi,\eta;\gamma)$ が出現し、新たな普遍性クラスを記述する。
• 最大特異値は相転移を経る：$\gamma$ が $0$ から $\infty$ に増加するに従い、その分布はGUE Tracy-Widomからガウス Tracy-Widomに遷移する。
• 臨界核は、相関核の二重閉路積分表現の漸近的解析により導出され、収束は $\mathcal{O}(N^{-1/4})$ の速度で証明された。
• 臨界分布関数 $F_{\text{crit}}(x;\gamma)$ は臨界核のFredholm行列式として特定され、そのPainlev\'e型表現は未解決のままである。