[論文レビュー] Lyapunov exponents and bifurcation current for polynomial-like maps

Ngoc-mai Pham|ArXiv.org|Dec 24, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、正則な多項式的写像族のパラメータに関して、最大リャプノフ指数の部分和が、そのパラメータの複素関数として多重サブハーモニックであることを確立する。全リャプノフ指数和の dd^c として分岐カレントを定義し、分岐locusをそれらのカレントの台として特定することで、複素力学系におけるパrameter空間の不安定性を力学的・幾何的特徴づけする。

ABSTRACT

We study holomorphic families of polynomial-like maps depending on a parameter s. We prove that the partial sums of largest Lyapunov exponents are plurisubharmonic functions of s. We also study their continuity and introduce the bifurcation locus as the support of bifurcation currents.

研究の動機と目的

• 正則な多項式的写像族におけるパラメータ依存のリャプノフ指数の振る舞いを研究すること。
• 最大リャプノフ指数の部分和がパラメータ s の多重サブハーモニック関数であることを証明すること。
• 全リャプノフ指数和の dd^c として分岐カレントを定義し、その性質を分析すること。
• 分岐locusを分岐カレントの台として特徴づけること。
• 全リャプノフ指数関数 L_k(s) が連続または多重調和的となる条件を調査し、力学的安定性を示すこと。

提案手法

• 水平な正の閉カレントの理論とスライスを用いて、パラメータ空間の積にカレント R を構成する。
• スライス測度の構成を適用し、各パラメータ s に対してカレント R を通じて均衡測度 μ_s を関連付ける。
• dd^c および多重サブハーモニック関数の理論を用いて、関数 L_p(s) = 最初の p 個のリャプノフ指数の和 が多重サブハーモニックであることを示す。
• 全リャプノフ指数 L_k(s) が (1/2)log d_t で下から有界であるという事実を用いて、分岐カレント B_F = dd^c L_k の存在を保証する。
• Dinh-Sibony の均衡測度および p.s.h. 関数に関する結果を応用し、p.s.h. 関数を μ_s に対して積分したものが多重サブハーモニックであることを証明する。
• 高次元の分岐カレント B_F^i および全空間上の全分岐カレントを導入し、安定性および分岐現象を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則な多項式的写像族に対して、p 個の最大リャプノフ指数の和がパラメータ s に関して多重サブハーモニック関数となるか？
• RQ2 パラメータ空間におけるカレントを用いて、分岐locusを幾何的に特徴づける方法は何か？
• RQ3 全リャプノフ指数関数 L_k(s) が連続または多重調和的となる条件は何か？
• RQ4 臨界集合がジュリア集合と交差しないことと、族の安定性との関係は何か？
• RQ5 高次元分岐カレント B_F^i は、パラメータ族の力学的・安定的性質とどのように関係するか？

主な発見

• 部分和 L_p(s) = χ_1(s) + ... + χ_p(s) は、1 ≤ p ≤ k に対して、パラメータ s の多重サブハーモニック関数である。
• 分岐カレント B_F は、パラメータ空間 Λ 上の正の閉 (1,1)-カレントとして、B_F = dd^c L_k(s) と定義される。
• 分岐locusは B_F の台として特定され、パrameter値において力学系に分岐が生じる幾何的特徴づけが与えられる。
• 均衡測度 μ_s が PLB（つまり d_s^* < d_t）であるとき、関数 L_k(s) は s の近傍で連続である。
• 臨界集合 C_s がジュリア集合 J_s と交差せず、かつ μ_s が PLB であるとき、L_k(s) は多重調和的であり、族は安定である。この場合、分岐locus は空集合である。
• 高次元分岐カレント B_F^i = B_F ∧ ... ∧ B_F （i 回）は適切に定義され、その台はcodimension による分岐locusのフィルトレーションをもたらす。