[論文レビュー] Lyapunov exponents and rigidity of Anosov automorphisms and skew products

Radu Saghin, Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 54被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、体積保存的 $ C^1 $-小な摂動が同一のリャプノフ指数を持つ場合、線形アノソフ自己同型およびアノソフ微分同相の上に積をとった系に対して局所的剛性を確立する。主な結果は、既約性および単純な実固有値で絶対値が異なる条件下で、リャプノフ指数のみで滑らかな共役性が保証されることであり、周期的データを超えた剛性結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this paper we obtain local rigidity results for linear Anosov diffeomorphisms in terms of Lyapunov exponents. More specifically, we show that given an irreducible linear hyperbolic automorphism $L$ with simple real eigenvalues with distinct absolute values, any small perturbation preserving the volume and with the same Lyapunov exponents is smoothly conjugate to $L$. We also obtain rigidity results for skew products over Anosov diffeomorphisms. Given a volume preserving partially hyperbolic skew product diffeomorphism $f_0$ over an Anosov automorphism of the 2-torus, we show that for any volume preserving perturbation $f$ of $f_0$ with the same average stable and unstable Lyapunov exponents, the center foliation is smooth.

研究の動機と目的

• 周期的データを超えて、リャプノフ指数のみがアノソフ微分同相の滑らかな共役性を示すかどうかを特定すること。
• 高次元アノソフ系において、周期的データからリャプノフ指数へと局所的剛性結果を拡張すること。
• 同一のリャプノフ指数を持つ、アノソフ写像上のスケュー積の体積保存的摂動が滑らかな中心葉層をもたらすかどうかを調査すること。
• リャプノフ指数が不変葉層の滑らかな構造を決定する条件を探ること。
• 導来アノソフ系および高次元スケュー積系への剛性結果の拡張のためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 既約な線形アノソフ自己同型で、単純な実固有値かつ絶対値が異なる条件下で、リャプノフ指数の等価性を滑らかな共役性の十分条件として用いる。
• 不変性原理およびジュルネの正則性定理を適用し、不安定および安定な葉層に沿ったホロノミー写像の $ C^{1+ε} $ 正則性を確立する。
• 葉に沿ったホロノミーの均一 $ C^1 $-有界性と射影技術を用いて、共役写像が均一に $ C^{1+ε} $ であることを示す。
• リャプノフ指数と体積が保存される $ C^1 $-近い摂動では、ホロノミー正則性の均一性を活用して、中心葉層が $ C^{1+ε} $ であることを示す。
• リャプノフフラッグに関する帰納的議論を用い、葉層の最小性を用いて非自明なホロノミー歪みを除外する。
• ユニバーサル被覆の構造と線形写像の作用に依存し、非自明なホロノミーが矛盾を引き起こすことを示し、共役性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形アノソフ自己同型の $ C^1 $-小な体積保存的摂動において、リャプノフ指数のみが滑らかな共役性を決定するか。
• RQ2 スケュー積の上にアノソフ微分同相をとる系において、リャプノフ指数の等価性が中心葉層の $ C^{1+ε} $ 正則性を保証する条件は何か。
• RQ3 中心葉層が一様に拡張的でない導来アノソフ写像へと滑らかな共役性結果を拡張可能か。
• RQ4 単純な実固有値かつ絶対値が異なる高次元アノソフ基底写像へと剛性結果を一般化可能か。
• RQ5 リャプノフ指数と体積が保存される場合、摂動系が真の基底アノソフ写像上のスケュー積と滑らかに共役されるか。

主な発見

• 単純な実固有値かつ絶対値が異なる既約な線形アノソフ自己同型 $ L $ に対して、同一のリャプノフ指数を持つ $ C^1 $-小な体積保存的摂動は、$ L $ と滑らかに共役である。
• アノソフ自己同型の上に積をとった系の体積保存的 $ C^1 $-小な摂動において、平均的な安定および不安定なリャプノフ指数が基底写像のそれと一致する場合、中心葉層は $ C^{1+ε} $ である。
• 摂動系と線形モデル間の共役は、ホロノミー写像にジュルネの正則性定理を適用することで、均一に $ C^{1+ε} $ であることが示される。
• 摂動系の不安定な葉層を線形モデルに射影した写像は、葉上で均一に $ C^{1+ε} $ 同相写像であるため、共役の正則性が保証される。
• ホロノミー歪みによる背理法に依存する：非自明なホロノミーは線形写像 $ L $ における不変性を矛盾させるため、ホロノミーは自明でなければならない。これにより共役性が滑らかであることが示される。
• 同じスペクトル的および体積保存的条件下で、高次元トーラス上のスケュー積へも結果は拡張可能であり、リャプノフに基づく剛性の一般枠組みを示唆する。