[論文レビュー] Lyapunov exponents and transport in Self-Organized Criticality

Bruno Cessac, Ph. Blanchard+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2000

Theoretical and Computational Physics被引用数 1

ひとこと要約

この論文は自己組織的臨界性の張モデルにおけるリャプノフ指数を調査し、スペクトル内の遅いモードが格子を横断するエネルギー輸送に関連することを明らかにしている。境界でのエネルギーフラックスを用いて、最初の負のリャプノフ指数の上限を導出し、輸送モードを活性サイト密度によって定義される計量空間上の拡散過程として解釈している。有限サイズスケーリングにより、スペクトルと臨界アバランチ特性との関係を結びつけている。

ABSTRACT

We discuss the role played by the Lyapunov exponents in the dynamics of the Zhang’s model of Self-Organized Criticality. We show that a wide part in the spectrum (slowest modes) is associated to energy transport in the lattice. We give in particular bounds on the first negative Lyapunov exponents in terms of the energy flux dissipated at the boundaries per unit time. We then establish an explicit formula for the transport modes, that appear as diffusion modes in a landscape where the metric is given by the density of active sites. We use a finite size scaling ansatz for the Lyapunov spectrum and relate the scaling exponent to the scaling of quantities like avalanche size, duration, density of active site, etc...

研究の動機と目的

• 自己組織的臨界系におけるリャプノフ指数の動的役割を理解すること、特に張のモデルにおいて。
• リャプノフスペクトル内の最も遅いモードが格子内でのエネルギー輸送メカニズムとどのように関係するかを明らかにすること。
• 系の境界で散逸するエネルギーフラックスを用いて、最初の負のリャプノフ指数に対する定量的上限を確立すること。
• 輸送モードを活性サイト密度によって定義される計量空間上の拡散過程として解釈すること。
• リャプノフスペクトルの有限サイズスケーリングを、臨界アバランチのサイズ、持続時間、および活性サイト密度のスケーリングと結びつけること。

提案手法

• エネルギー輸送に関連する遅いモードを分離するために、張のSOCモデルのリャプノフスペクトルを分析する。
• 時間平均エネルギーフラックスに基づいて、最初の負のリャプノフ指数の上限を導出する。
• 活性サイトの局所的密度を用いて格子上に計量を定義し、輸送モードを拡散過程として解釈する。
• リャプノフスペクトルに有限サイズスケーリングのアンザッツを適用し、そのスケーリング指数が臨界観測量とどのように関係するかを調べる。
• スケーリングアンザッツを用いて、スペクトルの振る舞いとアバランチサイズ、持続時間、および活性サイト密度のスケーリングを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 張のモデルにおけるリャプノフ指数は、エネルギー輸送ダイナミクスをどのように反映しているか？
• RQ2 最も遅いリャプノフモードと境界でのエネルギーフラックスの関係は何か？
• RQ3 系内の輸送モードは、サイト密度計量上の拡散過程としてどのように解釈できるか？
• RQ4 リャプノフスペクトルの有限サイズ行動を支配するスケーリング指数は何か？そして、臨界アバランチ統計とどのように関係するか？
• RQ5 リャプノフスペクトルのスケーリングを、アバランチサイズや活性サイト密度といった観測可能な量と結びつけることができるか？

主な発見

• リャプノフスペクトル内の最も遅いモードは、張のモデルにおいて格子を横断するエネルギー輸送と直接関連している。
• 最初の負のリャプノフ指数の上限は、単位時間あたりに境界で散逸するエネルギーフラックスの観点から確立されている。
• 輸送モードは、活性サイトの局所的密度によって定義されるリーマン計量上の拡散過程として現れる。
• リャプノフスペクトルに適用した有限サイズスケーリングアンザッツにより、そのスケーリング指数がアバランチサイズ、持続時間、および活性サイト密度のスケーリングと結びついている。
• リャプノフスペクトルのスケーリング行動は、従来のSOC観測量で観察されるのと同じ臨界指数を反映している。