[論文レビュー] Lyapunov Exponents of Brownian Motion: Decay Rates for Scaled Poissonian Potentials and Bounds

Johannes Rueß|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、強度とポテンシャル幅を調整することで消えるスケーリングされたポisson型ポテンシャルにおけるブラウン運動のクエンチドおよびアンネールドのリャプノフ指数の崩壊率を調査する。強度と$ L^1 $ノルムの積が$ D/n $に比例するスケーリング下で、両指数が$ cn^{-1/2} $の割合で崩壊することを示し、明示的な定数$ c $を特定する。また、平均化されたポテンシャルに対するクエンチド指数がアンネールド指数以上に有界であることを証明する。

ABSTRACT

We investigate Lyapunov exponents of Brownian motion in a nonnegative Poissonian potential $V$. The Lyapunov exponent depends on the potential $V$ and our interest lies in the decay rate of the Lyapunov exponent if the potential $V$ tends to zero. In our model the random potential $V$ is generated by locating at each point of a Poisson point process with intensity $ν$ a bounded compactly supported nonnegative function $W$. We show that for sequences of potentials $V_n$ for which $ν_n \|W_n\|_1 \sim D/n$ for some constant $D > 0$ ($n o \infty$), the decay rates to zero of the quenched and annealed Lyapunov exponents coincide and equal $c n^{-1/2}$ where the constant $c$ is computed explicitly. Further we are able to estimate the quenched Lyapunov exponent norm from above by the corresponding norm for the averaged potential.

研究の動機と目的

• ポアソン型ポテンシャルがゼロに近づく際のクエンチドおよびアンネールドのリャプノフ指数の漸近的挙動を分析すること。
• 強度と$ L^1 $ノルムの積が$ \nu_n\|W_n\|_1 \sim D/n $に比例するスケーリング下で、これらの指数の正確な崩壊率を特定すること。
• クエンチドおよびアンネールドのリャプノフ指数の間の比較を確立し、平均化されたポテンシャルに対してクエンチドノルムがアンネールドノルム以上に有界であることを証明すること。
• 離散的ランダムウォークからの結果を連続的ブラウン運動への拡張し、スケーリング極限における先行研究を精緻化すること。

提案手法

• クエンチドおよびアンネールドのリャプノフ指数は、生存確率の対数的漸近的挙動を用いて、グリーン関数$ g_\eta(x,y,\omega) $およびその$ L^1 $平均化版$ \mathbb{E}[g_\eta(0,ny,\omega)] $を用いて定義される。
• クエンチドのリャプノフ指数$ \alpha_{\eta+V}(y) $は、極限$ \lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n}\ln g_\eta(0,ny,\omega) $として定義され、アンネールド指数$ \beta_{\eta+V}(y) $は$ \lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n}\ln \mathbb{E}[g_\eta(0,ny,\omega)] $として定義される。
• 主要な技術的道具は、グリーン関数の崩壊を制御し、リャプノフ指数の境界を導出するために用いられるコームズ＝トーマス推定である。
• 証明は、大偏差推定とブラウン運動の経路的解析に依存しており、特に局所時間プロセスのスケーリングを用いて、球内での大規模な局所時間の確率を抑え込む。
• 回転対称性とカップリングの議論を用いて、問題を1次元ブラウン運動に簡略化し、訪問時間の明示的尾部推定を可能にする。
• 生存確率$ e(ny,\eta+V) $の分析と指数モーメントの境界を用いることで、$ n^{-1/2} $スケーリングが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強度と$ L^1 $ノルムの積が$ \nu_n\|W_n\|_1 \sim D/n $に比例するスケーリング下で、ポアソン型ポテンシャルが消える際のクエンチドリャプノフ指数の崩壊率は何か？
• RQ2 ポアソン型ポテンシャルがゼロに近づく極限において、クエンチドおよびアンネールドのリャプノフ指数は同じ速度で崩壊するか？
• RQ3 平均化されたポテンシャルに対するクエンチドリャプノフ指数は、アンネールド指数によって上から抑えられるか？
• RQ4 グリーン関数の漸近的挙動は、殺されるとこわい環境におけるブラウン運動の生存確率とどのように関係するか？

主な発見

• 強度と$ L^1 $ノルムの積が$ \nu_n\|W_n\|_1 \sim D/n $に比例するポテンシャル列に対して、クエンチドおよびアンネールドのリャプノフ指数は$ cn^{-1/2} $の割合で崩壊し、定数$ c = \sqrt{2D} $である。
• 指定されたスケーリング条件下で、クエンチドおよびアンネールドのリャプノフ指数の崩壊率は一致する。
• 平均化されたポテンシャルに対して、クエンチドリャプノフ指数ノルムは対応するアンネールド指数ノルム以上に有界である。すなわち、$ \alpha_{\eta+V}(y) \leq \beta_{\eta+V}(y) $である。
• 半径$ \xi $の球内での大規模な局所時間の確率は$ n \to \infty $でゼロに収束する。これは崩壊率を証明するために不可欠である。
• リャプノフ指数の収束はほとんど確実かつ$ L^1(\mathbb{P}) $で成り立ち、漸近的結果の頑健性を保証する。
• 先行研究のランダムウォークに関する結果を連続的ブラウン運動へと拡張し、スケーリング極限において明確な$ n^{-1/2} $の崩壊率を提供する。