[論文レビュー] Lyapunov exponents of probability distributions with non-compact support

Adriana Cristina Sánchez Chavarría, Marcelo Viana|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$GL(2,\mathbb{R})$ 内の非コンパクトな台を持つ確率分布におけるリャプノフ指数の連続性に関する性質を調査する。上位リャプノフ指数がワッサーシュタイン位相において上半連続であるが、弱*位相においてはそうではないことが示され、ワッサーシュタイン位相においても連続性が成立しないことが判明し、制御された成長率を持つ行列積の摂動を用いた反例が提示される。

ABSTRACT

We prove that the Lyapunov exponents, cosidered as functions of measures with non compact support, are semicontinuous with respect to the Wasserstein topology but not with respect to the weak* topology. Moreover, we prove that they are not continuous in the Wasserstein topology.

研究の動機と目的

• コンパクトな台を持つ分布に限らない、$GL(2,\mathbb{R})$ 内のリャプノフ指数の連続性に関する理解を拡張すること。
• 特に、非コンパクトな台におけるリャプノフ指数の挙動、特にその連続性の性質を分析すること。
• ワッサーシュタイン位相と弱*位相におけるリャプノフ指数の収束行動を比較すること。
• ワッサーシュタイン位相においてもリャプノフ指数が不連続となる明示的な反例を構成すること。

提案手法

• 一階モーメントが有限である確率測度のワッサーシュタイン位相を用いて、分布の収束を分析する。
• リャプノフ指数を行列ノルムの成長率のほとんど確実な極限として定義するために、Furstenberg-Kestenの定理を適用する。
• 制御された $L^1$-距離を有する対角結合を用いて、測度の列 $q_n$ がワッサーシュタイン距離において $q$ に収束することを構成する。
• スヘア行列を用いた行列積の摂動を用いて、小さなワッサーシュタイン距離であっても上位リャプノフ指数がゼロに落ちる系を構築する。
• Bocker-Viana による第一帰着写像の議論を用いて、すべての $n$ に対して $\lambda_+(B, q_n) = 0$ であるが、$\lambda_+(B, q) > 0$ であることを示す。
• 不変部分空間 $H_x = \mathbb{R}(1,0)$ および $V_x = \mathbb{R}(0,1)$ における力学的挙動を分析し、コサイクルの作用を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな台を持つ分布について、上位リャプノフ指数は $GL(2,\mathbb{R})$ 内でワッサーシュタイン位相に関して上半連続か？
• RQ2 弱*位相は、非コンパクトな場合におけるリャプノフ指数の半連続性を保つか？
• RQ3 非コンパクトな台を持つ場合、ワッサーシュタイン位相においてもリャプノフ指数が連続でないことがあるか？
• RQ4 行列積にどのような構造的条件が、ワッサーシュタイン収束下でのリャプノフ指数の不連続性を引き起こすか？
• RQ5 測度の小さなワッサーシュタイン摂動が、リャプノフ指数を著しく変化させうるか？

主な発見

• 上位リャプノフ指数 $\lambda_+(p)$ はワッサーシュタイン位相に関して上半連続である。
• 下位リャプノフ指数 $\lambda_-(p)$ はワッサーシュタイン位相に関して下半連続である。
• ワッサーシュタイン位相においてもリャプノフ指数は連続ではないことが、構成された反例によって示された。
• 反例は、測度の列 $q_n$ がワッサーシュタイン距離において $q$ に収束するが、すべての $n$ に対して $\lambda_+(B, q_n) = 0$ である一方で、$\lambda_+(B, q) = 2p_3\log 2 > 0$ であることを含む。
• 不連続性は、ワッサーシュタイン距離における $L^1$-距離を保ちつつも、行列ノルムの漸近的成長率を変化させる行列積の摂動によって生じる。
• 構成は、$W(q_n, q) \leq 2n^{-l}$（$l = \min\{\gamma, 1-\gamma\} > 0$）を満たす対角結合に依存しており、ワッサーシュタイン距離における収束を保証する。