[論文レビュー] Lyapunov exponents, shape theorems and large deviations for the random walk in random potential

Jean Christophe Mourrat|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}^d$（$d \geq 2$）上でのi.i.d.な確率的ポテンシャルにおける単純な無作為ウォークについて、クエンチド・リャプノフ指数および形状定理が存在するための最適な条件を確立する。$\mathbb{E}[Z(0)] < \infty$ であるとき、点対点の指数がほとんど確実に収束することを証明し、有限ポテンシャルサイトの集合が確率的に連結する（percolate）場合に限り、形状定理が成り立つことを示している。これらの結果は、[CD81] に根ざした再スケーリングおよび近似戦略を用いて、大偏差原理および第一到達時過程へと拡張可能である。

ABSTRACT

We consider the simple random walk on Z^d evolving in a potential of independent and identically distributed random variables taking values in [0, + \\infty]. We give optimal conditions for the existence of the quenched point-to-point Lyapunov exponent, and for different versions of a shape theorem. The method of proof applies as well to first-passage percolation, and builds up on an approach of Cox and Durrett (1981). The weakest form of shape theorem holds whenever the set of sites with finite potential percolates. Under this condition, we then show the existence of the quenched point-to-hyperplane Lyapunov exponent, and give a large deviation principle for the walk under the quenched weighted measure.

研究の動機と目的

• クエンチド点対点リャプノフ指数がほとんど確実に存在するための、最も弱いモーメントおよび確率的連結条件を同定すること。
• クエンチド設定下での形状定理のさまざまなバージョンが成立するための必要十分条件を確立すること。
• クエンチド重み付き測度下での無作為ウォークに対する大偏差原理を導出すること。
• 方法をサイトベースの到達時間へ適応することで、第一到達時過程への結果の拡張。
• ポテンシャルの地形から導かれる極限ノルムを用いて、無作為ウォークの漸近的挙動を特徴づけること。

提案手法

• 旅行コスト $a(x,y)$ の離散的近似 $\hat{a}(x,y)$ を再スケーリング構成により定義し、これはあるサイトの近傍境界から別のサイトへの最小コストを測定する。
• 近似コスト関数 $\hat{a}(x,y)$ に部分加法的エルゴード理論を適用し、可積分性条件の下で $\frac{1}{n}a(0,nx)$ の収束を確立する。
• ${\mathbb{E}[V(0)] = \infty}$ の場合に対処するため、第二の近似 $\tilde{a}(x,y)$ を導入し、有限ポテンシャルを持つサイトの大きな連結成分 $\mathbf{C}_\infty$ の存在に依存する。
• 輪郭型の議論と確率的連結推定を用いて、希少な高ポテンシャルサイトが全般的な経路コストに与える影響を制御する。
• 対数モーメント母関数の解析と双対ノルム $\alpha_\lambda$ を含む変分公式を用いて、大偏差原理を導出する。
• 到達時間の定義を再定義し、$a(x,y)$ を経路に沿ったポテンシャル値の下界和として再定式化することで、方法を第一到達時過程に適応し、ゼロ温度極限において類似の結果を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クエンチド点対点リャプノフ指数 $\frac{1}{n}a(0,nx)$ がほとんど確実に収束するための最小限の条件は何か？
• RQ2 無作為ポテンシャルにおける無作為ウォークの形状定理がいつ成立するのか？また、有限ポテンシャルサイトの確率的連結性は果たす役割は何か？
• RQ3 クエンチド測度下での正確な大偏差レート関数は何か？また、リャプノフ指数の双対ノルムとはどのように関係するか？
• RQ4 サイトベースの到達時間を持つ第一到達時過程へ、結果はどのように拡張されるか？
• RQ5 リャプノフ指数を $\mathbb{R}^d$ 上のノルムへ拡張可能か？また、いつそのノルムが消えるのか？

主な発見

• クエンチド点対点リャプノフ指数 $\frac{1}{n}a(0,nx)$ がほとんど確実に収束するための必要十分条件は、$\mathbb{E}[Z(0)] < \infty$ であり、ここで $Z(0) = \min_{y \sim 0} V(y)$ である。
• 指数が $L^1$ で収束するための必要十分条件は $\mathbb{E}[V(0)] < \infty$ であり、確率的に収束するための必要十分条件は $V(0) < \infty$ がほとんど確実に成り立つことである。
• 集合 $\mathbb{P}[V(0) < \infty] > p_c$ のとき、$\mathbb{R}^d$ 上のノルム $\alpha(x)$ となる。
• 形状定理がほとんど確実に成り立つための必要十分条件は、有限ポテンシャルサイトの集合が確率的に連結すること、すなわち $\mathbb{P}[V(0) < \infty] > p_c$ である。
• 同じ確率的連結条件の下で、クエンチド点対平面リャプノフ指数が存在し、$\alpha(x)$ に等しい。
• クエンチド重み付き測度下で大偏差原理が成り立ち、レート関数 $I(x)$ は双対ノルム $\alpha_\lambda$ を含む変分公式によって与えられる。