[論文レビュー] Lyapunov `Non-typical' Points of Matrix Cocycles and Topological Entropy

Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|May 17, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、位相的混合性を持つ双曲的系上の Hölder連続な行列コキューブに対して、すべてのエルゴード測度が同じ最大リャプノフ指数を持つ、またはリャプノフ不規則（非典型）な点の集合が、全位相的エントロピー、全パッキング位相的エントロピー、および非リャプノフ最小化エルゴード測度の上での測度エントロピーの上限によって下から有界づけられたボーエン・ハウスドルフエントロピーを持つことを確立している。

ABSTRACT

It follows from Oseledec Multiplicative Ergodic Theorem (or Kingman's Sub-additional Ergodic Theorem) that the set of `non-typical' points for which the Oseledec averages of a given continuous cocycle diverge has zero measure with respect to any invariant probability measure. In strong contrast, for any H$\ddot{o}$der continuous cocycles over hyperbolic systems, in this article we show that either all ergodic measures have same Maximal Lyapunov exponents or the set of Lyapunov `non-typical' points have full topological entropy and packing topological entropy. Moreover, we give an estimate of Bowen Hausdorff entropy from below.

研究の動機と目的

• 双曲的系上の行列コキューブの文脈において、最大リャプノフ指数が存在しない（不規則）点であるリャプノフ不規則点の力学的複雑性を調査すること。
• 任意の不変確率測度のもとで測度がゼロであるにもかかわらず、このような非典型点が高次元の位相的エントロピーを示すかどうかを特定すること。
• 2つの場合の二分法を確立すること：すべてのエルゴード測度が同一の最大リャプノフ指数を持つ、または不規則集合が複数のエントロピーの意味で全エントロピーを持つ。
• 非最小化エルゴード測度の測度エントロピーを用いて、不規則集合のボーエン・ハウスドルフエントロピーの下界を推定すること。
• 次元 m ≥ 2 の非共形的設定における、バーキホフ平均とエルゴード最適化に関する結果を、行列コキューブの文脈に拡張すること。

提案手法

• 不変測度に対してリャプノフ指数のほとんど確実な存在を保証するため、Oseledecの乗法的エルゴード定理とKingmanの部分加法的エルゴード定理を用いる。
• 位相的混合性を持つ双曲的系における指定性および指数的シャドーイングを応用し、制御された成長率を持つ稠密な軌道集合を構成する。
• 不変測度が周期軌道に支持される事例を用いて、不変測度のエントロピー構造を活用し、エントロピー密度の議論を展開する。
• 記号的力学とシリンダーセットを用いて、不規則点のコンパクト集合 F を構成し、ボーエン距離における球の測度に一様な下界を保証する。
• 増加する半径の球の測度の上極限および下極限を用いて位相的エントロピーを推定し、時系列にわたる一様性を活用する。
• エントロピー双対性原理を適用し、不規則集合の位相的エントロピーを非リャプノフ最小化エルゴード測度の上での測度エントロピーの上限と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的系におけるリャプノフ不規則点の集合が、全位相的エントロピーを持つのはどのような条件下か？
• RQ2 非最小化エルゴード測度の測度エントロピーを用いて、リャプノフ不規則集合のボーエン・ハウスドルフエントロピーに下界を設定できるか？
• RQ3 最大リャプノフ指数の挙動には、すべてのエルゴード測度が同一であるか、または不規則集合が全エントロピーを持つという二分法が存在するか？
• RQ4 Hölder連続な行列コキューブの構造は、非共形的力学系における非典型点のエントロピーにどのように影響を与えるか？
• RQ5 不規則集合のエントロピーは、システムの不変測度の下位の測度エントロピー構造をどの程度反映しているか？

主な発見

• 任意の位相的混合性を持つ局所的最大な双曲的集合上の Hölder連続な行列コキューブに対して、すべてのエルゴード測度が同じ最大リャプノフ指数を持つ、またはリャプノフ不規則点の集合が全位相的エントロピーを持つ。
• リャプノフ不規則集合は全パッキング位相的エントロピーを持つ。これは、すべてのスケールで位相的に複雑であることを意味する。
• 不規則集合のボーエン・ハウスドルフエントロピーは、リャプノフ最小化でないすべてのエルゴード測度の上での測度エントロピーの上限によって下から有界づけられる。
• システムの最大エントロピー測度がリャプノフ最小化でない場合、不規則集合のボーエン・ハウスドルフエントロピーはシステムの全位相的エントロピーに等しい。
• 指数的シャドーイングの仮定のもとで成立し、これは位相的混合性を持つ $C^1$ 同相写像が双曲的集合上で作用する場合に満たされる。
• 証明は、記号的力学と不変測度のエントロピー密度性を活用し、一様なエントロピー推定を持つ不規則点のコンパクト集合を構成することに依存する。