[論文レビュー] Lyapunov spectrum for exceptional rational maps

Katrin Gelfert, Feliks Przytycki+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非原子的不変測度とσ-有限な調和測度に基づく隠れた変分的圧力の導入により、リーマン球面上の例外的有理写像のリャプノフ指数の次元スペクトルを特徴づける。ハウスドルフ次元がこの圧力のレジェンドル＝フェンヒェル変換によって決定されることを確立し、すべての不変測度における最大リャプノフ指数が非原子的測度におけるものより大きいという、従来の理論から除外されていた例外的ケースにまで結果を拡張する。

ABSTRACT

We study the dimension spectrum for Lyapunov exponents for rational maps acting on the Riemann sphere and characterize it by means of the Legendre-Fenchel transform of the hidden variational pressure. This pressure is defined by means of the variational principle with respect to non-atomic invariant probability measures and is associated to certain $σ$-finite conformal measures. This allows to extend previous results to exceptional rational maps.

研究の動機と目的

• 従来の理論から除外されていた例外的有理写像に対するリャプノフ指数次元スペクトルの特徴づけを拡張すること。
• 非原子的不変測度とσ-有限な調和測度を用いて、新たな隠れた変分的圧力の定義と解析を行うこと。
• リャプノフ指数のレベル集合のハウスドルフ次元とこの隠れた圧力のレジェンドル＝フェンヒェル変換との明確な関係を確立すること。
• すべての不変測度における最大リャプノフ指数が非原子的測度におけるものより大きいという、例外的写像の主要特徴を解消すること。

提案手法

• 非原子的不変測度μの上でのsupremumとして、隠れた変分的圧力$ \widetilde{P}(\varphi_t) $を定義し、$ \varphi_t = -t \log |f'| $とする。
• 隠れた圧力のレジェンドル＝フェンヒェル変換を用いて、$ \alpha > 0 $に対して関数$ \widetilde{F}(\alpha) = \frac{1}{\alpha} \inf_{t \in \mathbb{R}} (\widetilde{P}(\varphi_t) + t\alpha) $を定義し、$ \alpha = 0 $に連続に拡張する。
• 隠れた圧力と古典的圧力$ P(\varphi_t) $の関係を確立し、$ P(\varphi_t) = \max\{ \widetilde{P}(\varphi_t), -t \chi_{\sup} \} $が成り立つことを示す。ここで$ \chi_{\sup} = \sup_{\mu \in \mathcal{M}} \chi(\mu) $である。
• 後退する調和的分岐と歪度推定を用いて、ジュリア集合から例外的集合を除いた部分におけるリャプノフ指数の本質的上界に限りなく近いリャプノフ指数を持つ周期点を構成する。
• テレスコープ的議論とプリス型の双曲的時刻を用いて、微分の成長を制御し、所望のリャプノフ指数を持つ周期点の存在を保証する。
• レベル集合$ \mathcal{L}(\alpha, \beta) $の次元が、$ q \in [\alpha, \beta] $における$ \widetilde{F}(q) $の下界と上界で抑えられることを示し、正則ケース$ \alpha = \beta $では等号が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての不変測度における最大リャプノフ指数が非原子的測度におけるものより大きいという、例外的有理写像におけるリャプノフ指数の次元スペクトルはどのように振る舞うか？
• RQ2 非原子的不変測度とσ-有限な調和測度に基づいて定義された隠れた変分的圧力のレジェンドル＝フェンヒェル変換が、例外的ケースにおけるリャプノフレベル集合の次元スペクトルを特徴づけられるか？
• RQ3 例外的集合$ \Sigma(f) $は、ジュリア集合に属する点のリャプノフ指数が取りうる値をどのように制約するか？
• RQ4 どのようにして、$ J \setminus \Sigma $におけるリャプノフ指数の本質的上界に限りなく近いリャプノフ指数を持つ周期点を構成できるか？
• RQ5 古典的圧力が実解析的でなくなる例外的性質を持つ写像において、隠れた圧力$ \widetilde{P}(\varphi_t) $は、リャプノフスペクトルの全複雑性をどの程度まで捉えられるか？

主な発見

• 任意の$ \alpha, \beta \in [0, \widetilde{\alpha}^+] $で$ \alpha \leq \beta $を満たすとき、レベル集合$ \mathcal{L}(\alpha, \beta) $のハウスドルフ次元は$ \min\{ \widetilde{F}(\alpha), \widetilde{F}(\beta) \} \leq \dim_{\rm H} \mathcal{L}(\alpha, \beta) \leq \max_{q \in [\alpha, \beta]} \widetilde{F}(q) $を満たす。
• 任意の$ \alpha \in \alpha^-, \widetilde{\alpha}^+ \setminus \{0\} $に対して、正則レベル集合$ \mathcal{L}(\alpha) $の次元は正確に$ \dim_{\rm H} \mathcal{L}(\alpha) = \widetilde{F}(\alpha) $である。
• $ \alpha = 0 $のとき、ゼロリャプノフ指数を持つ点の集合の次元は$ \dim_{\rm H} \mathcal{L}(0) \geq \widetilde{F}(0) $を満たすが、等号は予想されるものの未解決である。
• リャプノフ指数が$ \overline{\chi}(x) < \alpha^- $を満たす点の集合のハウスドルフ次元はゼロであるため、このような点はジュリア集合において極めてまれである。
• $ \chi(x) < \alpha^- $または$ \overline{\chi}(x) > \widetilde{\alpha}^+ $を満たす点の集合は$ \Sigma $の外では空集合であるため、$ \alpha^- $と$ \widetilde{\alpha}^+ $は$ J \setminus \Sigma $におけるリャプノフ指数の本質的下限と上限であることが示される。
• 隠れた圧力$ \widetilde{P}(\varphi_t) $は$ (-\infty, 0) $上で実解析的であり、古典的圧力が例外的性質のため実解析的でなくなる場合であっても、レジェンドル＝フェンヒェル変換を通じて次元スペクトルを支配する。