[論文レビュー] Lyapunov stable chain recurrent classes

Jiagang Yang|ArXiv.org|Dec 4, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ホモクリニックねじれから離れた $C^1$ 同相写像の残渣的部分集合において、周期点の安定多様体が環境多様体全体に dense であることを確立する。一般性の議論と接続補題を用いて、リヤプノフ安定な鎖的再帰的クラスがホモクリニッククラスであり、特定の被圧縮分解を有することを証明し、ボナティの予想および一般化されたパリス予想における一般的力学系の部分的証拠を提供する。

ABSTRACT

We show that for a $C^1$ residual subset of diffeomorphisms far away from homoclinic tangency, the stable manifolds of periodic points cover a dense subset of the ambient manifold. This gives a partial proof to a conjecture of C. Bonatti.

研究の動機と目的

• C. ボナティの予想、すなわち一般的 $C^1$ 同相写像における周期点の安定多様体の稠密性を部分的に証明すること。
• 一般的力学系の文脈において、リヤプノフ安定な鎖的再帰的クラスの構造を調査すること。
• 特定の鎖的再帰的クラスにおける被圧縮分解とホモクリニッククラス構造に関する弱い予想を検証することで、より広範な $C^1$ パリス予想に寄与すること。
• リヤプノフ安定な鎖的再帰的クラスがホモクリニッククラスであり、インデックスに特化した被圧縮分解を有することを確立すること。

提案手法

• ホモクリニックねじれから離れた一般的力学系を解析するため、$C^1$ 残渣的部分集合 $R \subset (\overline{HT^{1}})^c$ を用いる。
• 動的整合性領域における接続補題を適用し、所定の集合に高い密度を持つ周期軌道を生成する摂動を構成する。
• $f$ に収束する微分同相写像の列 $g_n$ を用い、$g_n$ の周期軌道が有限個の集合 $\bigcup_{i=1}^N \Phi_i$ に占める点の割合が $s$ よりも大きいことを保証することで、一般性を確保する。
• 一般性の性質の補題を用いて、$g_n$ における稠密性の性質を元の微分同相写像 $f$ に持ち上げ、$f$ 自身が $\bigcup_{i=1}^N \Phi_i$ において高い軌道密度を持つ周期点を有することを保証する。
• 局所的力学と制御された摂動を用いて、リヤプノフ安定な鎖的再帰的クラスの近傍における力学を解析し、被圧縮分解の存在を検証する。
• クロヴィジエの中心モデルと基本的極限の性質を適用し、一般的設定におけるホモクリニッククラスの構造を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般的 $C^1$ 同相写像においてホモクリニックねじれから離れており、リヤプノフ安定な鎖的再帰的クラスは、必然的にホモクリニッククラスであるか？
• RQ2 任意のリヤプノフ安定なホモクリニッククラス $C$ に対して、インデックス $i_0$ の被圧縮分解が存在し、$E^{cs}_{i_0}$ が収縮的であるか、もしくは codimension-1 の部分被圧縮分解が存在するか？
• RQ3 双曲的性とホモクリニックねじれが存在しない状況下でも、周期点の安定多様体の一般的稠密性を確立できるか？
• RQ4 鎖的再帰的クラス構造に関する予想（例：予想4, 7）は、リヤプノフ安定クラスの特別な場合にどの程度成立するか？
• RQ5 リヤプノフ安定な鎖的再帰的クラスの構造を介して、$C^1$ パリス予想に到達できるか？

主な発見

• 残渣的部分集合 $R \subset (\overline{HT^{1}})^c$ に対して、周期点の安定多様体の和集合が多様体 $M$ 全体に dense である。これはボナティの予想を支持する。
• このような一般的同相写像におけるリヤプノフ安定な鎖的再帰的クラスは、すべてホモクリニッククラスである。
• 最小インデックス $i_0$ を持つ任意のリヤプノフ安定ホモクリニッククラス $C$ に対して、接バンドル $T_C M$ は被圧縮分解 $T_C M = E^{cs}_{i_0} \oplus E^{cu}_{i_0+1}$ を有する。
• もし $E^{cs}_{i_0}$ が収縮的であれば、$C$ はインデックス $i_0$ の基本的極限である。あるいは、$E^{cs}_{i_0}$ が $E^{s}_{i_0-1} \oplus E^{c}_1$ に分解され、$E^{s}_{i_0-1}$ が収縮的で $\dim(E^c_1|_C) = 1$ であれば、$C$ はインデックス $i_0-1$ および $i_0$ の両方の基本的極限である。
• これらの結果は、特にリヤプノフ安定な設定において予想4および7を強く支持し、より広範な $C^1$ パリス予想への証拠を提供する。
• 摂動と軌道稠密性の議論に依存する証明技法により、このクラスに属する一般的 $C^1$ 同相写像が、豊富ではあるが構造的である軌道構造を示すことが確認された。