[論文レビュー] Lyapunov Theory for Discrete Time Systems

Nicoletta Bof, Ruggero Carli+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2018

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 2被引用数 71

ひとこと要約

ディスクリート時間系のLyapunov理論結果をまとめた技術レポートで、安定性、LaSalleの不変性、線形化、非自律拡張と証明を含む。

ABSTRACT

In this work, we present the equivalent of many theorems available for continuous time systems. In particular, the theory is applied to Averaging Theory and Separation of time scales. In particular the proofs developed for Averaging Theory and Separation of time scales departs from those typically used in continuous time systems that are based on twice differentiable change of variables and the multiple use of the Implicit Function Theorem and Mean Value Theorem. More specifically, by constructing a suitable Lyapunov function only Lipschitz conditions are necessary. Finally, it is shown that under mild condition on the so-called "interconnection conditions" the proposed tools can guarantee semi-global exponential stability rather than the more stringent local exponential stability typically found in the literature

研究の動機と目的

• 離散時間系のLyapunov関連定理の自立的コレクションを提示する。
• 連続時間理論から離散時間系へのLyapunov法の証明と拡張を提供する。
• Lyapunovと不変性原理を用いた特定の離散時間クラスの収束結果を提供する。
• 離散化されたLyapunov関数と線形化結果を通じて線形と非線形の分析を橋渡しする。

提案手法

• 自律および非自律の離散時間系に対する安定性概念を導入する。
• V(f(x))−V(x) ≤ 0 または < 0 を用いて安定性および漸近安定性を保証するLyapunov条件を導出する。
• 半径方向に無限大に発散する（radially unbounded）または適切な成長を持つLyapunov関数を用いてグローバルな結果を確立する。
• 離散時間ダイナミクスへLaSalleの不変性原理を適用し、漸近的挙動を導く。
• Lyapunov方程式を用いた線形システムの結果を展開し、Schur安定性との等価性を証明する。
• 平衡点近傍の非線形系に対する線形化とLyapunov間接法を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間自律系に対して安定性と漸近的安定性を保証するLyapunov条件は何か？
• RQ2 LaSalleの不変性原理を離散時間ダイナミクスへ適用して極限集合をどのように記述できるか？
• RQ3 原点での線形化とLyapunov関数を用いた非線形安定性の関係はどうなるか？
• RQ4 非自律（時変）離散時間系はLyapunov法によって安定性をどのように保持するか？
• RQ5 線形および非線形の離散化系のLyapunov関数の存在と一意性をどの条件で保証できるか？

主な発見

• V(f(x))−V(x)≤0 を満たすLyapunov関数は安定性を保証し、厳密な負性は漸近安定性を与える。
• LaSalleの定理は、零変動セルS内の最大の不変集合への収束を提供する。
• Vがradially unboundedでV(f(x))−V(x)≤0のときグローバル漸近安定性が得られる。
• 線形系では、Schur安定性（固有値が単位円内）と、任意のQ>0に対してAᵀPA−P=−Qを満たす正定値Pの存在は同値である。
• 非線形系が平衡点の近傍で線形化が漸近安定であれば（Lyapunovの間接法）、Lyapunov関数が存在する。
• この文献はKL, K, および指数収束表現を用いて非自律／離散時間設定への安定性概念を拡張している。