[論文レビュー] Lyapunov-Type Inequalities for Discrete Riemann-Liouville Fractional Boundary Value Problems

Jagan Mohan Jonnalagadda|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2018

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ナブラ微分を用いた2点離散リーマン＝リオウビル分数マージン境界値問題に対して、リャプノフ型不等式を確立する。ポテンシャル関数の絶対値の和に対する下界を導出し、非自明な解が存在するのは、この和がガンマ関数および一般化された上昇階乗を含む閾値を超える場合に限ることを証明する。主たる貢献は、ナブラ分数差分に対する新しいリャプノフ不等式であり、これにより解の非存在基準、固有値の境界、および離散ミタグ・レフラー関数のゼロ非存在条件が得られる。

ABSTRACT

In this article we establish a few Lyapunov-type inequalities for two-point discrete fractional boundary value problems involving Riemann-Liouville type backward differences. To illustrate the applicability of established results, we obtain criteria for the nonexistence of nontrivial solutions and estimate lower bounds for eigenvalues of the corresponding eigenvalue problems. We also apply these inequalities to deduce criteria for the nonexistence of real zeros of certain discrete Mittag-Leffler functions.

研究の動機と目的

• ナブラリーマン＝リオウビル差分を含む離散分数マージン境界値問題に対する新しいリャプノフ型不等式を導出すること。
• 離散分数マージン境界値問題における非自明な解の非存在を保証する十分条件を提供すること。
• 対応する固有値問題の固有値に対する下界を推定すること。
• ある種の離散ミタグ・レフラー関数の実数零点の非存在を導く基準を導出すること。

提案手法

• ナブラ分数マージン微分を用いて、右焦点型離散分数境界値問題のグリーン関数を導出する。
• グリーン関数を用いて、定義域上での点ごとの評価および最大値推定を確立する。
• グリーン関数の最大値を用いて、ガンマ関数および一般化された上昇階乗を含むリャプノフ型不等式を導出する。
• この不等式を用いて、ポテンシャル関数に閾値条件を満たす場合に非自明な解が存在しないことを証明する。
• 不等式を固有値問題に適用し、$ \Gamma(\alpha) / (b-a-1)^{\overline{\alpha-1}} $ に比例する下界を導出する。
• 固有値解析を用いて、不等式を離散ミタグ・レフラー関数の実数零点の非存在に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナブラリーマン＝リオウビル差分を含む離散分数マージン境界値問題において、非自明な解が存在しないことを保証するための、$ \sum_{s=a+2}^{b} |q(s)| $ の鋭い下界は何か？
• RQ2 右焦点境界条件を有する離散分数マージン問題に、リャプノフ型不等式をどのように拡張できるか？
• RQ3 対応する離散分数マージン固有値問題の固有値に対して、どのような下界を確立できるか？
• RQ4 離散ミタグ・レフラー関数 $ E_{-\lambda,\alpha,0}(n,0) + \lambda E_{-\lambda,\alpha,\alpha-1}(n,0) $ が実数零点を持たない条件は何か？

主な発見

• 非自明な解が存在する離散分数マージン境界値問題に対して、リャプノフ型不等式 $ \sum_{s=a+2}^{b} |q(s)| \geq \frac{\Gamma(\alpha)}{(b-a-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ が成立する。
• もし $ \sum_{s=a+2}^{b} |q(s)| < \frac{\Gamma(\alpha)}{(b-a-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ ならば、非自明な解は存在しない。
• 固有値問題 $ \nabla^\alpha_0 u(t) + \lambda u(t) = 0 $ に対して、固有値は $ |\lambda| \geq \frac{\Gamma(\alpha)}{(n-1)(n-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ を満たす。
• 離散ミタグ・レフラー関数 $ E_{-\lambda,\alpha,0}(n,0) + \lambda E_{-\lambda,\alpha,\alpha-1}(n,0) $ は、$ |\lambda| < \frac{\Gamma(\alpha)}{(n-1)(n-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ のとき、実数零点を持たない。
• 定義域上でのグリーン関数 $ G_r(t,s) $ の最大値は $ \frac{(b-a-1)^{\overline{\alpha-1}}}{\Gamma(\alpha)} $ であり、これは不等式を導出する上で重要な役割を果たす。
• 証明は、グリーン関数の定義域上での和の評価に依拠し、一般化された上昇階乗およびガンマ関数の性質を用いる。