[論文レビュー] (M + 1)-step shift spaces that are not conjugate to M-step shift spaces

Daniel Gonçalves, Danilo Royer|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、無限のアルファベット上での (M+1)-ステップシフト空間の明示的な族を構成し、それがいかなる M-ステップシフト空間とも同相でないことを示している。これにより、オット、トムフォード、ウィルスの予想が証明された。構成では、語集合上の補助関数を用いて禁止パターンを定義し、周期的系列の収束に基づく位相的矛盾の議論により、画像空間内の長さ制約のため、このような (M+1)-ステップシフトは M-ステップシフトと同相にはなり得ないことが示された。

ABSTRACT

Recently Ott, Tomforde and Willis proposed a new approach for one sided shift spaces over infinite alphabets. In this new approach the conjugacy classes of shifts of finite type, edge shifts, and M-step shifts are distinct and the authors conjecture that for each non-negative integer M there exist an (M+1)-step shift space that is not conjugate to any M-step shift. In this short paper we build a class of (M+1)-step shifts that are not conjugate to any M-step shift and hence show that their conjecture is correct.

研究の動機と目的

• オット、トムフォード、ウィルスが提起した、M-ステップシフト空間に同相でない (M+1)-ステップシフト空間の存在に関する未解決問題を解決すること。
• 無限のアルファベット設定において、M-ステップシフトと (M+1)-ステップシフトの同相類が異なることを示すこと。
• すべての M ∈ ℕ ∪ {0} に対して、いかなる M-ステップシフト空間とも同相でない (M+1)-ステップシフト空間の明示的族を構成すること。
• 周期的系列の収束を用いた位相的障害の議論により、非同相性を示すこと。
• 古典的記号的力学系の枠組みを無限のアルファベットへと拡張し、有限のアルファベットの場合に消える、シフトタイプの区別を保つこと。

提案手法

• 有限の禁止パターンに基づく位相を備えた一般化されたシリンダ集合を用いて、無限のアルファベット上でのシフト空間を定義する。
• f: ⋃_{k≥1} A^k → {0,1} が禁止語を符号化するとして、シフト空間を Xf = X^inf_f ∪ X^fin_f と表現する。
• f(x) = 1（|x| ≤ M の場合）および f(x) = ∏_{i=1}^{M+1} ˜f(x_i, ..., x_{i+M})（|x| ≥ M+1 の場合）を満たす補助関数 ˜f: A^{M+2} → {0,1} を用いて (M+1)-ステップシフトを構成する。
• ˜f に2つの条件を課す：(1) 周期的な M-語を (M+1)-サイクルに拡張できる無限集合が存在すること、(2) 任意の (M+1)-語に対しては有限個の拡張しか存在しないこと。
• Xf から M-ステップシフト Yg への同相 φ を用いて、Xf の系列を Yg に持ち上げ、Xf 内の周期的系列の収束を解析する。
• φ の像が長さ 2M+1 の要素を含む必要があることから矛盾を導出し、これは Xf において拡張が有限であることから、長さ M+2 よりも長い要素が存在しないことと矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各 M ∈ ℕ ∪ {0} に対して、無限のアルファベット上での (M+1)-ステップシフト空間で、いかなる M-ステップシフト空間とも同相でないものが存在するか？
• RQ2 無限のアルファベットにおける記号的力学系の枠組みにおいて、M-ステップシフトと (M+1)-ステップシフトの同相類は異なるか？
• RQ3 周期的系列の収束を用いて、(M+1)-ステップシフトと M-ステップシフトの間の同相性を防ぐ位相的障害を構成できるか？
• RQ4 禁止パターンが周期性と有限な拡張性を強制するような、無限のアルファベット上でのシフト空間を定義することは可能か？ これにより、シフトタイプの区別がなされる。
• RQ5 無限のアルファベット上でのシフト空間の構造的性質のうち、(M+1)-ステップシフトが M-ステップシフトと同相でない理由は何か？

主な発見

• すべての M ≥ 1 に対して、無限のアルファベット上での (M+1)-ステップシフト空間の族が存在し、それはいかなる M-ステップシフト空間とも同相でない。
• 非同相性に必要な条件を満たす補助関数 ˜f: A^{M+2} → {0,1} を ˜f(x1,…,xM+2) = 1（x1 = xM+2 の場合）、0（それ以外の場合）として定義する。
• M = 0 の場合、有限個の記号しか無限に後続を持たない1-ステップシフト空間を構成し、これはいかなる0-ステップシフト（つまりフルシフト）とも同相でない。
• 証明における矛盾は、同相の像が長さ 2M+1 の要素を含む必要があるが、(M+1)-ステップシフト Xf には長さ M+2 よりも長い要素が存在しないため生じる。
• 証明は、Xf 内の周期 M+1 の要素の列が有限長の要素に収束することと、同相性が周期性と収束性を保つことに基づいている。
• この結果により、無限のアルファベット設定では、M-ステップシフトの階層が同相性の下で厳密に増加することが確認されたが、有限のアルファベットの場合にはすべてのシフトが同相となるため、その区別は消える。