[論文レビュー] Möbius disjointness for analytic skew products

Zhiren Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2次元トーラス上の解析的スケイププロダクトに対して、Sarnakの Möbius 離散性予想を証明し、Möbius 関数がそのような系の力学系と漸近的に直交することを示している。証明はFurstenbergの力学的二分法、Bourgain-Sarnak-Zieglerの基準、およびMatom"{a}ki-Radziwi{ጞl{ጞl}}-Taoの乗法的関数の短区間推定値を組み合わせており、任意の連続関数 $ f $ および初期点 $ (x_0,y_0) $ に対して、$ \mu(n)f(T^n(x_0,y_0)) $ の平均が 0 に収束することを確立している。

ABSTRACT

We show that the Möbius function is disjoint to every analytic skew product dynamical system on the two-torus over a rotation of the circle.

研究の動機と目的

• 解析的スケイププロダクトに対してSarnakのMöbius離散性予想を、スケイプ関数のフーリエ係数に下界を要しない状況でも確立すること。
• 従来の事例を超えて、不規則な力学系のクラスを拡張し、Möbius離散性が成り立つことを示すこと。
• 従来のvan der Corput法を適用するために必要だった $ h $ のフーリエ係数に対する指数的下界を排除すること。
• Möbius離散性が任意の初期条件に対して点ごとに成り立つことを示すこと、すなわちほとんど everywhere ではなく全点で成り立つこと。

提案手法

• Furstenbergの力学的二分法を適用し、系を基底方向にLebesgue測度の有限被覆をもつものか、一意的エルゴード的であるかに分類する。
• Bourgain-Sarnak-Ziegler基準を用いて、問題を、異なる素数 $ p_1, p_2 $ に対して、$ f(T^{p_1 n}(x_0,y_0)) $ と $ f(T^{p_2 n}(x_0,y_0)) $ の相関が消えることを示すことに還元する。
• 一意的エルゴード性が成り立たない場合、フーリエ級数を用いて、周期 $ Q $ の周期的系列によって軌道列が良好に近似できることを示し、その区間長 $ l $ が $ Q $ に対して指数的に大きいことを示す。
• 周期的近似を法 $ Q $ におけるDirichlet指標に分解し、問題を短区間における $ \mu(n)\chi(n) $ の平均の制御に還元する。
• Matom"{a}ki-Radziwi{ጞl{ጞl}}-Taoの定理を応用し、非擬似乗法的関数の短区間平均を制御することで、$ \mu(n)\chi(n) $ の平均を抑え込む。
• すべての指標に関する境界を組み合わせ、$ l $ が $ Q $ に対して指数的に増大することを用いて誤差の蓄積を防ぎ、全体としての離散性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケイプ関数 $ h $ のフーリエ係数に下界がない場合でも、$\mathbb{T}^2$ 上のすべての解析的スケイププロダクトに対してMöbius離散性が成り立つか？
• RQ2 経験的測度が弱収束しない不規則な力学系に対して、Bourgain-Sarnak-Ziegler基準を適用可能か？
• RQ3 非本物の指標 $ \chi $ に対して、擬似性を仮定しない状況で、$ \mu(n)\chi(n) $ の短区間平均を制御することは可能か？
• RQ4 力学系の構造と乗法的関数に関する数論的推定値の相互作用が、非正規系において離散性を実現する仕組みは何か？

主な発見

• Möbius 関数は $\mathbb{T}^2$ 上のすべての解析的スケイププロダクト力学系と離散である。つまり、すべての連続関数 $ f $ およびすべての初期点 $ (x_0,y_0) $ に対して、$ \frac{1}{N}\sum_{n\leq N}\mu(n)f(T^n(x_0,y_0))\to 0 $ が成り立つ。
• この結果は、$ h $ のフーリエ係数に下界を仮定しないでも成り立つため、従来のvan der Corput法によるキャンセルを保証するために必要だった下界の仮定を排除した一般化である。
• 証明は不規則な系に対しても成り立つ。具体的には、Furstenbergの反例の位相的同相を含む、真正に不規則な力学系に対しても成り立つ。これは、このような力学系に対してMöbius離散性が成り立つ初の結果である。
• この手法は、乗法的関数の短区間平均に関するMatom"{a}ki-Radziwi{ጞl{ጞl}}-Tao推定値に依存しており、$ l $ が大きく、$ \mu\chi $ が非擬似である場合、$\mathbb{E}_{n\in[L,L+l)}\mu(n)\chi(n)$ は平均的に小さくなることを保証する。
• $ \mu(n)f(T^n(x_0,y_0)) $ の平均の境界は $ N\to\infty $ のとき 0 に収束し、その収束速度は $ \rho_{Sq_k}(\delta N / Sq_k) $ によって制御され、$ N $ が大きくなると 0 に近づく。
• 最終的な誤差境界は $ \delta + \left(Sq_k \cdot \rho_{Sq_k}(\delta N / Sq_k) + S^{-1} q_k^{-1} \log^2 q_k\right)^{1/2} $ のオーダーであり、$ \delta $ を小さく、$ q_k $ を大きくすることで、任意に小さくできる。