[論文レビュー] M{ö}bius orthogonality in density for zero entropy dynamical systems

A. M. Gomilko, Mariusz Lemańczyk+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、可算個のエルゴード測度をもつゼロエントロピー力学系において、自然数の部分列の対数的密度が1であるような部分列に沿って、モービウス関数が連続観測量と直交することを確立している。著者らは、対数的強いMOMO性質にTaoの2次モーメント法を適応させることで、密度における一様なモービウス直交性を証明し、以前の対数的Sarnak予想の結果を拡張し、このクラスの力学系について密度版のモービウス直交性を確認した。

ABSTRACT

It is proved that whenever a zero entropy dynamical system $(X,T)$ has only countably many ergodic measures and $μ$ stands for the arithmetic M{ö}bius function, then there exists a subset $A$ of integers depending only on the system, of logarithmic density one, such that for each $f$ continuous on $X$, $\frac1N \sum_{n\leq N} f(T^nx)μ(n) o 0$ as $N o\infty$, $N\in A$, uniformly in $x\in X$. In particular, the density version of M{ö}bius orthogonality holds.

研究の動機と目的

• 可算個のエルゴード測度をもつゼロエントロピー力学系について、モービウス直交性の密度版を確立すること。
• 対数的Sarnak予想を、より強い密度における一様収束にまで拡張すること。
• Taoの2次モーメント法を、可算個のエルゴード測度をもつ系における対数的強いMOMO性質に適応すること。
• 対数的強いMOMO性質が、対数的密度が1である部分列に沿ったモービウス直交性を意味することを示すこと。
• 完全収束に依存しない新しいモービウス直交性の証明手法を提示し、代わりに密度極限に注目すること。

提案手法

• Taoの2次モーメント法を、対数的強いMOMO性質に適応させ、これは疎な区間におけるモービウス関数の重み付き平均を含む。
• 強いMOMO性質を用いて、区間 $I_k = [b_k, b_{k+1})$ において $b_{k+1} - b_k \to \infty$ となるような $\sum_{n \in I_k} \mu(n) f(T^n x)$ の形の重み付き和の成長を制御する。
• 対数的強いMOMO性質が、対数的密度が1である集合 $A \subset \mathbb{N}$ に沿ったCesàro平均の一様収束を意味することを確立する。
• 部分和の積分と調和級数の推定を用いて、対数的密度とCesàro平均の収束を関連付ける。
• $\delta(A) = 1$ であると $\sum_{n \in A, n \leq N} \frac{1}{n} \sim \log N$ となることを利用して、Cesàro平均の正規化を制御する。
• 補題5.5を用いて、部分和 $\mu(n)$ が十分に速く減少するような、全密度部分集合 $\tilde{A}$ を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数的強いMOMO性質は、可算個のエルゴード測度をもつゼロエントロピー系において、密度におけるモービウス直交性を意味するか？
• RQ2 Taoの2次モーメント法は、完全収束ではなく、対数的密度が1である集合に沿ったCesàro平均の収束を証明するために適応可能か？
• RQ3 完全なモービウス直交性が保証されていない場合でも、可算個のエルゴード測度をもつ系について、一様な密度版のモービウス直交性が存在するか？
• RQ4 対数的チャウラ予想は、ゼロエントロピー系において、密度におけるモービウス直交性を意味するか？
• RQ5 集合 $A \subset \mathbb{N}$ に対して、$\mu(n) f(T^n x)$ のCesàro平均が $x$ に関して一様に0に収束するための最小の密度条件は何か？

主な発見

• 任意の可算個のエルゴード測度をもつゼロエントロピー系 $(X,T)$ に対して、対数的密度が1であるような集合 $A \subset \mathbb{N}$ が存在し、$\left\| \frac{1}{N} \sum_{n \leq N} \mu(n) f \circ T^n \right\|_{C(X)} \to 0$ が $N \to \infty$ のとき $A$ を通して一様に $x \in X$ に対して成り立つ。
• 対数的強いMOMO性質は、密度におけるモービウス直交性を意味し、Sarnak予想の密度版の十分条件を提供する。
• 構成された集合 $A$ は $\delta(A) = 1$ を満たしており、$\lim_{N \to ∞} \frac{1}{\log N} \sum_{n \in A, n \leq N} \frac{1}{n} = 1$ であるため、Cesàro型平均の正規化が適切に保証される。
• この結果は、完全収束よりも弱く、上付き密度1よりも強い部分列に沿った収束を確立しているという点で、鋭いものである。
• 証明手法は、モービウス関数の完全収束に依存せず、代わりに重み付き平均と密度論的議論を用いて一様性を達成している。
• この手法により、対数的チャウラ予想が、ゼロエントロピー系において、Cesàro直交性条件を満たす全密度部分集合 $A$ の存在を意味することが確認された。