[論文レビュー] Möbius transformations and the Poincaré distance in the quaternionic setting

Cinzia Bisi, Graziano Gentili|ArXiv.org|May 3, 2008

Mathematics and Applications参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ユニットディスク $\Delta_{\mathbb{H}}$ と上半空間 $\mathbb{H}^+$ の間のカーレイ型変換を用いて、クaternion的設定におけるモビウス変換とポアンカレ距離を定義することにより、クォータニオン的ポアンカレ幾何学の類似を確立する。クォータニオン的交比を導入し、得られるポアンカレ距離がモビウス変換に関して不変であることを証明する。また、対称空間分類と整合的であるがために、クォータニオン的ポアンカレ距離と複素数のコバヤシ距離の間には等長写像が存在しないことを示す。

ABSTRACT

In the space $\hh$ of quaternions, we investigate the natural, invariant geometry of the open, unit disc $Δ_{\hh}$ and of the open half-space $\hh^{+}$. These two domains are diffeomorphic via a Cayley-type transformation. We first study the geometrical structure of the groups of Möbius transformations of $Δ_{\hh}$ and $\hh^{+}$ and identify original ways of representing them in terms of two (isomorphic) groups of matrices with quaternionic entries. We then define the cross-ratio of four quaternions, prove that, when real, it is invariant under the action of the Möbius transformations, and use it to define the analogous of the Poincaré distances on $Δ_{\hh}$ and $\hh^{+}$. We easily deduce that there exists no isometry between the quaternionic Poincaré distance of $Δ_{\hh}$ and the Kobayashi distance inherited by $Δ_{\hh}$ as a domain of $\mathbb{C}^{2}$, in accordance with a direct consequence of the classification of the non compact, rank 1, symmetric spaces.

研究の動機と目的

• クォータニオンのユニットディスク $\Delta_{\mathbb{H}}$ と上半空間 $\mathbb{H}^+$ の不変幾何学をモビウス変換を用いて発展させること。
• 4つのクォータニオンの交比を用いて、ポアンカレ距離のクォータニオン的類似を定義すること。
• クォータニオンの成分をもつ行列群を用いて、クォータニオン的モビウス変換の群を同定すること。
• クォータニオン的ポアンカレ距離がモビウス変換に関して不変であることを証明すること。
• クォータニオン的ポアンカレ距離と複素数のコバヤシ距離を比較し、等長写像が存在しないことを示すこと。

提案手法

• 2×2 クォータニオン行列に対するディエドニの行列式を定義し、行列の逆行列化と群構造解析を可能にする。
• 分数線形変換 $L_A(q) = (aq + b)(cq + d)^{-1}$ として、クォータニオン的モビウス変換の群 $\mathbb{G}$ を構成する。
• $GL(2,\mathbb{H})$ から $\mathbb{G}$ への群準同型 $\Phi$ を確立し、その核を $GL(2,\mathbb{H})$ の中心に等しくする。
• カーレイ変換 $\psi(q) = (1+q)(1-q)^{-1}$ を用いて $\Delta_{\mathbb{H}}$ と $\mathbb{H}^+$ を関連付け、複素数直線 $L_I \cong \mathbb{C}$ を保存する。
• 4点の実交比を用いて、$\mathbb{H}^+$ 上のポアンカレ距離を定義する。このとき、測地線の端点も含む。
• 微分幾何的ポアンカレ計量 $ds_{{\mathbb{H}}^+}^2 = \frac{|d_I q|^2}{4|\Re e(q)|^2}$ を導出し、$\mathbb{M}^*(\mathbb{H}^+)$ の作用に関して不変であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列群を用いて、クォータニオン的設定におけるモビウス変換をどのように定義・表現できるか。
• RQ2 ポアンカレ距離のクォータニオン的類似とは何か。幾何学的にどのように構成されるか。
• RQ3 クォータニオン的ポアンカレ距離は、$\Delta_{\mathbb{H}}$ 上の複素数のコバヤシ距離と等長写像をもつだろうか。
• RQ4 4つのクォータニオンの交比はモビウス変換に関してどのように振る舞い、いつ実数になるか。
• RQ5 群 $SL(\mathbb{H}^+)$ と $\mathbb{H}^+$ 上のモビウス変換の群との関係は何か。

主な発見

• クォータニオン的モビウス変換の群 $\mathbb{G}$ は、中心を除いた $GL(2,\mathbb{H})$ と同型であり、行列から分数線形変換への準同型 $\Phi$ が存在する。
• ディエドニの行列式 $\det_{\mathbb{H}}(A) = \sqrt{|a|^2|d|^2 + |c|^2|b|^2 - 2\Re(c\overline{a}b\overline{d})}$ は、クォータニオンの 2×2 行列に対する自然な不変量を提供する。
• カーレイ変換 $\psi(q) = (1+q)(1-q)^{-1}$ は、$\Delta_{\mathbb{H}}$ から $\mathbb{H}^+$ への微分同相写像であり、複素数直線 $L_I \cong \mathbb{C}$ を保存する。
• 上半空間 $\mathbb{H}^+$ 上のポアンカレ距離は、$\omega(q_1, q_2) = \frac{1}{2} \log(\mathcal{CR}(q_1, q_2, q_3, q_4))$ として定義され、ここで $\mathcal{CR}$ は2点と測地線の境界交点の交比である。
• 微分計量 $ds_{{\mathbb{H}}^+}^2 = \frac{|d_I q|^2}{4|\Re e(q)|^2}$ は、拡張モビウス群 $\mathbb{M}^*(\mathbb{H}^+)$ の作用に関して不変である。
• クォータニオン的ポアンカレ距離と $\mathbb{C}^2$ から誘導されるコバヤシ距離の間には等長写像が存在せず、2つの双曲的幾何の非等長性が確認される。