[論文レビュー] m-Contiguity Distance

Nilay Ekiz Yazici, Nursultan Kuanyshov+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2026

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 0

ひとこと要約

論文は、単純形写像間のm-連続距離を導入し、その基本的性質を展開し、m-連続距離の離散的類似として m-simplicial LS-カテゴリーや m-離散位相的複雑性などの古典的ホモトピー的不変量を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we systematically develop the m-contiguity distance between simplicial maps as a discrete approximation framework for homotopical complexity in the category of simplicial complexes. We construct an increasing sequence of invariants that approximate the contiguity distance from below. The fundamental properties of m-contiguity distance are established, including invariance under barycentric subdivision, behavior under compositions, and a categorical product inequality. As applications of this theory, we define the m-simplicial Lusternik-Schnirelmann category and the m-discrete topological complexity, proving that each arises naturally as a special case of m-contiguity distance.

研究の動機と目的

• m-contiguity distance を用いた単純形複合体におけるホモトピー的複雑さの離散近似フレームワークを動機づけ formalize する。
• barycentric 分割に対する不変性、合成に対する挙動、積不等式などのコアな性質を確立する。
• 古典的な不変量への橋渡しとして、m-simplicial LS-カテゴリーと m-離散位相的複雑性を特殊な場合として定義する。
• Moore パスベースの不変量や simplicial ファibration など、m-近似設定内の関連概念を開発する。

提案手法

• m-contiguity distance SD_m(φ,ψ) を、K が φ と ψ が任意の m 次元複合体写像と合成した後 contiguity-等化される部分複体で覆われるような最小の k として定義する。
• 基本的性質を証明する： SD_m(φ∘α, ψ∘α) ≤ SD_m(φ,ψ); SD_m(β∘φ, β∘ψ) ≤ SD_m(φ,ψ); SD_m(φ,ψ) ≤ SD(φ,ψ); および SD_n(φ,ψ) は m に対して非減少である。
• SD_m が barycentric 分割を尊重することを示す： SD_m(sd(φ), sd(ψ)) ≤ SD_m(φ,ψ)。
• カテゴリ的積の不等式を確立する： SD_m(φ×φ′, ψ×ψ′) + 1 ≤ (SD_m(φ,ψ)+1)(SD_m(φ′,ψ′)+1)。
• pullback と Moore path を介して m-ス simplicial LS カテゴリーと m 次元的不変量を導入・関連付ける。
• m-simplicial LS カテゴリー は inclusions i1,i2: K→K^2 に対する SD_m(i1,i2) として現れ、m 次元 Schwarz 属と m 次元離散位相的複雑性へ拡張する。
• m 次元の離散位相的複雑性 TC^m(K) は SD_m(pr1, pr2) に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 simplicial 写像間の contiguity distance を下から近似する増加列 (m-contiguity distance) によってどのように近似できるか？
• RQ2 この枠組みから自然に現れる離散的不変量（例：m-simplicial LS-カテゴリー、m-離散位相的複雑性）は何か？
• RQ3 これらの不変量は分割、積、ファイブレーションの下でどのように振る舞い、古典的連続的不変量とどのように関連するか？
• RQ4 Moore-path および simplicial fibration 技術が m-設定において区分型的不変量の同値性をもたらす条件は何か？

主な発見

• SD_m は増加する不変量の族を提供し、m が大きくなると古典的 contiguity distance に収束する。
• barycentric 分割の不変性と積不等式により、SD_m は頑健な圏論/ホモトピー的枠組みに位置付く。
• m-simplicial LS カテゴリーと m-離散位相的複雑性は SD_m の特別な場合として現れ、古典的対応の下位近似を与える。
• TC^m(K) は SD_m(pr1, pr2) により特徴づけられ、Farber 型の離散的位相的複雑性の離散類似を提供する。
• simplicial fibration については hsecat_m(p) = secat_m(p) となり、m-文脈でホモトピーに基づくと区分型-部分的カテゴリの概念を整合させる。